![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Численное интегрирование обыкновеных дифференциальных уравнений
- •Разностная аппроксимация производных.
- •Сеточные функции.
- •Разностные аппроксимации первой производной.
- •Разностная аппроксимация второй производной.
- •Численное решение задачи Коши.
- •Метод Эйлера.
- •Повышение точности разностного метода.
- •Метод Рунге-Кутта.
- •Метод Адамса.
- •Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.
-
Численное интегрирование обыкновеных дифференциальных уравнений
Наиболее универсальными методами численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются разностные методы. Они основаны на замене производных в дифференциальном уравнении разностными отношениями. В результате исходное дифференциальное уравнение сводится к системе алгебраических уравнений, которые называются разностными. Решение этой системы дает приближенное решение исходной задачи.
Разностная аппроксимация производных.
Сеточные функции.
Пусть
на отрезке
задан набор точек
.
Будем называть его сеткой. Чтобы не усложнять изложения, условимся считать сетку равномерной:
,
.
Пусть каждой точке сетки
сопоставлено по определенному закону
число
.
Совокупность этих чисел
назовем сеточной функцией. Сеточные
функции, определенные на сетке , образуют
-мерное
линейное пространство.
Чтобы иметь возможность сравнивать
сеточные функции между собой, говорить
об их близости, нужно ввести в этом
пространстве норму. В этой главе мы
будем пользоваться нормой
,
которая определяется следующим образом:
.
Это определение законно, поскольку удовлетворяет трем аксиомам нормы:
Норма неотрицательна
,
причем равенство нулю имеет место только для нулевого элемента.
Модуль числового множителя можно вынести за знак нормы
.
Неравенство треугольника
.
Справедливость последнего утверждения вытекает из свойства максимума:
.
Разностные аппроксимации первой производной.
Для сеточных функций нельзя ввести
обычное понятие производной, включающее
операцию предельного перехода при
.
Вместо производной здесь вводятся
разностные отношения:
,
;
,
;
,
.
Отношение называют правой разностной производной, отношение – левой разностной производной и отношение – центральной разностной производной.
Чтобы установить связь разностных
отношений – с обычной производной,
предположим, что на отрезке
определена дифференцируемая функция
,
значения которой в точках сетки равны
значениям рассматриваемой сеточной
функции:
.
Вычислим первую производную функции
в точках
и сопоставим с разностными отношениями
– :
,
;
,
;
,
.
Эти величины
представляют собой погрешности
аппроксимации производной с помощью
разностных отношений – в точке
.
Предположим, что функция
дважды непрерывно дифференцируема на
отрезке
и запишем для нее формулу Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа
,
где
какое-то неизвестное нам число между
нулем и единицей. Подставляя разложение
в формулу , получим
.
Аналогичное представление
можно получить для величины
.
Формулы и
не позволяют вычислить соответствующие
погрешности, но дают возможность их
оценить. Функция
,
по предположению, непрерывна на отрезке
,
и, следовательно, ограничена:
,
.
В результате получаем
,
.
Оценки
являются равномерными, поскольку не
зависят от индекса
.
Таким образом, левое и правое разностное
отношение аппроксимируют производную
с первым порядком точности относительно
.
Для оценки
предположим, что функция
три раза непрерывно дифференцируема
на отрезке
и продолжим разложение еще на один
член
Подставляя разложения в формулу , будем иметь
.
По предположению
функция
непрерывна и, следовательно, ограничена
на отрезке
:
,
.
В результате из равенства получим оценку
.
Оценка , как
и раньше , не зависит от индекса
,
она является равномерной. Таким образом,
центральная разностная производная
дает более хороший результат: она
аппроксимирует производную
со вторым порядком точности относительно
для функций, трижды непрерывно
дифференцируемых на отрезке
.
Задача 1.
Рассмотреть
функцию
на сетке
,
,
.
Вычислить
в точке
правую, левую и центральную разностные
производные, найти погрешности
аппроксимации производной
,
сравнить их с априорными оценками по
формулам и .
В данном случае
,
;
,
;
,
.
Перейдем к априорной оценке погрешности.
Вторая и третья производные рассматриваемой
функции
имеют вид
,
.
Для них на отрезке
справедливы оценки
,
.
Так что неравенства и запишутся следующим образом
,
,
.
Они выполняются.