Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казахский национальный университет им. аль-Фараби

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplom25 / Vsya_Diplomka.docx

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

412.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

2.2 Предельные теоремы для распределения числа частиц в ветвящихся процессах

Мы знаем, что математическое ожидание числа частиц n-го поколения в надкритических процессах Гальтона–Ватсона растет как , причем коэффициент вариациистабилизируется при стремлениик бесконечности:

Это позволяет надеяться на то, что и размер популяции в моментn, нормированный математическим ожиданием , также будет в определенном смысле сходиться прик некоторой случайной величине. Результаты данного раздела подтверждают эту гипотезу.

Будем предполагать, что случайные величины заданы на некотором вероятностном пространстве . Обозначим символомэлементы пространства элементарных событий.

Определение 2.2. Последовательность случайных величин

сходится почти наверное к случайной величине при, если

Определение 2.3. Последовательность случайных величин

сходится в среднем квадратическом к случайной величине при, если

Определение 2.4. Неслучайная последовательность называется фундаментальной, если для любого существует числотакое, что для любого

В данном случае существует предел .

Определение 2.5. Последовательность случайных величин , называется фундаментальной с вероятностью 1, если последовательность фундаментальна для почти всех.

Определение 2.6. Последовательность случайных величин , называется фундаментальной в среднем квадратическом, если для любого существует числотакое, что для любого

Теорема 2.1. Последовательность случайных величин сходится в среднем квадратическом к некоторой случайной величинепритогда и только тогда, когда последовательностьявляется фундаментальной в среднем квадратическом.

В дальнейшем нам понадобится следующее неравенство.

Лемма 2.1. Для любых случайных величин ис конечным вторым моментом

Доказательство. В силу неравенства Коши–Буняковского

Следовательно,

Отсюда

Лемма доказана.

Далее дадим формулировку основной предельной теоремы для распределения числа частиц в надкритических процессах Гальтона–Ватсона.

Теорема 2.2. Если и, то существует случайная величинатакая, что при

Доказательство. Очевидно, что

(2.17)

где означает размер популяции в момент, порожденного-м индивидуумом, существовавшим в семействе в момент. Ясно, что

(2.18)

Так как

(2.19)

то из соотношений (2.17) - (2.19) следует

Следовательно,

при равномерно по.

Таким образом, существует случайная величина W такая, что

Следовательно, последовательность сходится кв среднем квадратическом. По условию леммы 2.1

Таким образом,

Более того,

что влечет собой

Откуда следует, что

и, таким образом,

Далее, в силу леммы Бореля–Кантелли ряд

сходится с вероятностью 1. А значит

Далее убедимся в том, что величина совпадает с вероятностью. Так как, тои

Учитывая, что наименьшим неотрицательным корнем уравнения является, то из предыдущего соотношения следует, что.

Теорема доказана.

Теорема 2.3. Пусть и– преобразование Лапласа случайной величины. Тогда

Доказательство. Нам известно, что для любого выполняется

где – количество частиц в моментв популяции, порожденной -й частицей первого поколения. Следовательно,

В последнем соотношении перейдем к пределу при . Затем обозначим запреобразование Лапласа случайной величины. Далее, используя непрерывность функции, получим

(2.20)

Теорема доказана.

Следствие 2.1. В надкритическом ветвящемся процессе с дисперсией распределение случайной величиныимеет больше одной точки роста на полуоси.

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть случайная величина может принимать не более двух значений, одно из которых 0 (с вероятностью), другое, например,(с вероятностью). Таким образом, преобразование Лапласапредельного распределения можно записать в виде

Предположим, что . Тогда

В силу теоремы 2.3 получаем

(2.21)

Пусть , то, тогда для вероятностной производящей функции числа прямых потомководной частицы возможно только при целом. Однако в данном случае мы имеем, что противоречит условиям следствия.

Пусть , тогда при целом значенииправая часть (2.21) после возведения в степень будет содержать отрицательные коэффициенты при положительных степенях переменной, Что в свою очередь является невозможным для вероятностной производящей функции. А для нецелыхмнимая часть функции

при равна

(2.22)

Легко заметить, что мнимая часть рассматриваемой функции отлична от нуля, что невозможно для вероятностной производящей функции при указанных значениях .

Следствие доказано.

Пример 2.2. Если

где , то

(2.23)

Обращая преобразование Лапласа предельной величины, находим

Ранее было установлено, что вероятность вырождения докритических и критических процессов равна 1. Возникает вопрос, с какой скоростью приближается вероятность к 1, или, другими словами, как быстро стремится к 0 вероятность невырождения процесса при . Рассмотрим данный вопрос относительно докритических процессов.

Для начала докажем следующее неравенство.

Лемма 2.2 (Неравенство Маркова). Если – неотрицательная случайная величина, отличная от тождественного нуля, то для любого

Доказательство. Для имеем

Перейдем к ветвящимся процессам. Для из неравенство Маркова выглядит

(2.24)

Итак, можно сказать, что вероятность невырождения в докритических процессах Гальтона–Ватсона убывает с экспоненциальной скоростью. Для того, чтобы узнать точность полученной оценки (2.24), рассмотрим следующую теорему.

Предположим .

Теорема 2.4. Если , то

тогда и только тогда, когда

Из теоремы 2.4 следует, что

(2.25)

Из выше приведенного следует, что если докритический процесс, который удовлетворяет условиям теоремы 2.4, не выродился к достаточно отдаленному моменту времени , то в таком случае математическое ожидание числа частиц в процессе стабилизируется и затем приближается к величине.

При доказательстве теоремы 2.4 нам понадобится следующий технический результат.

Лемма 2.3. Пусть заданы вероятностная производящая функция

и величина . Ряд

(2.26)

сходится тогда и только тогда, когда

(2.27)

Доказательство. Так как

то

Допустим, что

исходя из этого, получаем

Откуда вытекает

Введем в интеграле замену переменных. Тогда становится ясно, что для доказательства леммы необходимо показать, что

тогда и только тогда, когда выполняется (2.27). Итак, теперь требуется узнать, когда

Легко понять, что

С другой стороны,

где последнее соотношение следует из оценок

Лемма доказана.

Обратим внимание, что из утверждения леммы 2.3 вытекает следующее: либо ряд (2.26) сходится для любого , либо расходится для любого.

Далее вернемся к доказательству теоремы 2.4.

Доказательство теоремы 2.4. Пусть

В данном соотношении последнее неравенство получается, исходя из оценки .

Логично, что

Из чего можно заключить, что,

Далее обозначим через . Затем, из предыдущего соотношения получаем

В результате чего имеет место монотонная сходимость

вдобавок предел является положительным лишь в том случае, если

На основании неравенства Маркова

и, в дополнение, при всех

В силу того, что функция является монотонной по

В результате, ввиду леммы 2.3, получаем

тогда и только тогда, когда

Что в свою очередь справедливо только в том случае, если

Потому как

Теорема 2.4 доказана.

Замечание 2.1. Из доказательства теоремы 2.4 можно заключить, что для любого

Рассмотрим оценки снизу и сверху для вероятности невырождения докритических процессов. Полученные оценки зависят только от математического ожидания и дисперсии числа потомков одной частицы. Вычислим оценку снизу для вероятности события, которое заключается в том, что неотрицательная случайная величина является положительной.

Лемма 2.4. Если случайная величина неотрицательна с вероятностью 1 и не равна тождественно нулю, то

Доказательство. На основании неравенства Гельдера

что в свою очередь доказывает утверждение леммы.

Ввиду леммы 2.4, а также в силу всего изложенного ранее, следует, что

(2.28)

Пусть

Теорема 2.5. Если докритический ветвящийся процесс стартует с частиц, то

(2.29)

Если, кроме того, дисперсия числа непосредственных потомков частиц , то

(2.30)

Доказательство. В данном случае воспользуемся следующим обозначением. – это вероятность вырождения процесса, начавшегося с одной частицы, за первыепоколений. Тогда

Таким образом, беря во внимание оценки (2.28), получаем утверждение теоремы при . Приобратим внимание, что

Поэтому

тем самым доказываем соотношения (2.29). Из соотношений (2.28) доказывается неравенство (2.30).

Теорема доказана.

Замечание 2.2. Известно, при вероятность вырождения равна 1. Для того, чтобы добиться такого результата в докритическом случае, достаточно воспользоваться соотношением (2.29). Потому как в данном случае.

Рассмотрим докритические процессы, начинающиеся с большого числа частиц, получим асимптотическое представление для величины математического ожидания времени до вырождения процесса при. Полученное асимптотическое разложение будет зависеть только от параметрови.

Теорема 2.6. Если и, то

(2.31)

Доказательство. Известно, что

(2.32)

где

и, вдобавок,

(2.33)

Пусть

Следует подчеркнуть, что и

Далее,

и в силу (2.33)

С другой стороны,

Учитывая (2.32) и основываясь на неравенство , несложно понять, что при всех

Из этого видно, что

Таким образом,

Следовательно, теорема доказана.

Свойства докритических процессов, которые, как мы уже знаем, вырождаются с вероятность единица, изучаются при условии, что , иными словами при невырождении процесса к моменту времени. Ранее было показано, что в докритических ветвящихся процессах, которые удовлетворяют условию, условное математическое ожиданиечисла частиц стабилизируется при. Вследствие чего можно сделать предположение, что в докритических процессах распределение числа частиц должно сходится прик дискретному распределению.

Теорема 2.7. Если , то

причем функция

является решением уравнения

Доказательство. Очевидно, что

Понятно, что функция возрастает по, вдобавок

Следовательно,

или

Таким образом, при всех существует предел

В том числе,

откуда вытекает, что

При имеем

В результате, получаем, что . Теорема 2.7 доказана.

Далее требуется узнать, в каком случае предельное распределение, которое задается производящей функцией , имеет конечное математическое ожидание. Для этого перейдем к следующей теореме.

Теорема 2.8. тогда и только тогда, когда.

Доказательство. Понятно, что

Следовательно, в силу теоремы 2.4, а также, основываясь на равенство , мы получаем

тогда и только тогда, когда .

Ранее было установлено, что на множестве невырождающихся траекторий в надкритических процессах число частиц со временем растет экспоненциальным образом.

Известно, что

иным словами, в случае, когда производящая функция рассматриваемого процесса в 0 является положительной, следовательно, и вероятность вырождения данного процесса тоже является положительной. Так каким же образом изменяется число частиц в указанном надкритическом вырождающемся процессе? И сколько частиц появится в данном процессе за время эволюции? Для ответа на эти вопросы сначала рассмотрим общее число частиц которое появилось в процессе за первыепоколений:

В случае, если , то

Нам уже известно, что при процесс быстро вырождается. Общее число частиц, когда-либо появившихся в процессе

конечно с вероятностью 1, кроме того,

Однако, в случае, если , топри. Предположим, что надкритический процесс когда-либо выродится, а момент вырождения обозначим через символ. Далее мы перейдем к формулировке следующей теоремы.

Теорема 2.9. Если , то

(2.34)

где – вероятность вырождения рассматриваемого процесса.

Замечание 2.3. Убедимся, что . Для этого мы рассмотрим функцию. Ясно, что, если. Далее, положим,. Пусть. То, соответственно,. Тогда, в результате, левая окрестностьточкитакая, чтодля любого. Таким образом, мы получили противоречие неравенствудля любого. Далее допустим,. В этом случае мы имеем

и, значит, что точка - точка локального минимума функции. А это в свою очередь противоречит неравенствудля любого.

Доказательство. Рассмотрим следующее равенство

(2.35)

Затем,

(2.36)

Обратим внимание, что

Так как все последующие поколения, произошедшие от частиц, которые существовали в момент временидолжны вымереть. Вследствие этого

Подставим полученные выражения поочередно в соотношения (2.36) и (2.35). Таким образом, получим соотношение (2.34). Тем самым, придем к доказательству утверждения теоремы.

Пример 2.3. Рассмотрим надкритический процесс, имеющий геометрическое распределение числа прямых потомков.

Соответственно,

(2.37)

Следует подчеркнуть, что математическое ожидание в соотношении (2.37) монотонно убывает и стремится к 1 при

В результате, если надкритический процесс достаточно быстро вырождается, вследствие чего, общее число частиц, которое родилось за время его развития, мало. Это может говорить о том, что математическое ожидание числа прямых потомков частиц велико. Данный результат легко понять. Рассматриваемый процесс вырождается еще в начале своего существования, из чего следует, что число порожденных частиц не может быть большим. Если бы выжило несколько появившихся поколений, то популяция резко возросла, следовательно, вероятность вырождения стала бы ничтожно мала.

Далее перейдем к рассмотрению пуассоновского потока с параметром .

Опишем действие прибора, на который поступают группы заявок. Число требований в группах cлучайно и имeет произвoдящую функцию . В момент времениприбор является свободным от заявок. Пусть– число групп требований, пришедших на обслуживание за время. Допустим, что интервалы временимежду последующими моментами поступления групп являются случайными независимыми, а также они имеют экспоненциальное распределение с параметром. Требуется найти распрeделение cлучайной вeличины.

Пусть

Что определяет функцию распределения временного промежутка между последовательными моментами поступления групп. Очевидно, что

Положим,

–это производящая функция случайной величины . На основании формулы полной вероятности, а также свойства экспоненциального распределения, получим

где в последнем равенстве была введена замена . Из чего вытекает

Учитывая начальное условие , имеем

Далее рассмотрим распределение числа требований , которое поступило за промежуток времени. Легко понять, что

Теперь дадим описание следующей системе. На прибор приходят группы заявок. Притом их число является случайным и имеет производящую функцию . Допустим, что интервалы временимежду последующими моментами поступления групп требований являются случайными независимыми, а также они имеют экспоненциальное распрeделение с пaраметром. Положим, что времяl обслуживания одной заявки имeет рaспределение . Пусть количество возможных заявок, которые могут стоять в очереди на обслуживание, может быть сколь угодно большим. Предположим, что в начальный момент времени прибор был свободен, в данный момент на обслуживание прибыла одна заявка, которая непременно начала обслуживаться. В конце обслуживания каждой следующей заявки прибор незамедлительно приступает к обслуживанию очередного требования в том случае, если оно существует. Требования обcлуживаются в порядке поcтупления в cистему.

Определение 2.7. Периодом занятости называется промежуток времени, заключенный между моментом начала работы прибора и ближайшим к нулю моментом, когда система оказалась свободной от требований.

Нам необходимо найти распределение общего числа требований , обслуженных за период занятости.

C этой целью мы соединим описанную выше систему обслуживания с ветвящимся процессом Гальтона–Ватсона. Мы истолкуем заявки как частицы. Первое требование, поступившее на прибор, будем трактовать как частицу-основателя необходимого нам ветвящегося процесса. Требования, поступившие за время обслуживания первoначального требования, мы рассматриваем как непосредственных потомков первонaчальной чaстицы. Подобным образом, заявки, пришедшие во время обслуживания любого из очередных требований, будем принимать за потомков соответствующей частицы. Очевидно, что при данной трактовке мы получим ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона, вдобавок общее количество частиц, возникшие в этом процессе до момента его вырoждения, будет равно oбщему количеству требoваний , которые были oбслужены за периoд занятости.

Для того, чтобы вычислить математическое ожидание случайной величины , требуется найти распределение случайной величины, обозначающую число непосредственных потомков первоначальной частицы.