2) Тіктөртбұрышты облыс үшін екі еселі интеграл.
1. Тіктөртбұрышты облыс үшін екі еселі Риман интегралы анықтамасы.
2.Тіктөртбұрышты облыс бойынша екі еселі интегралды қайталама жай интегралға келтіру.
Екі
еселі Риман интегралының тіктөртбұрыш
бойынша анықтамасы. Айталық,
функциясы
тіктөртбұрышында анықталған және онда
шектелген болсын.
тіктөртбұрышының барлық мүмкін
бөліктеулері бойынша құрылған
қағидалар жиынының инфимумын жоғарғы
интеграл, ал
төменгі қағидалар жиынының супремумын
төменгі интеграл деп атап, сәйкес
арқылы белгілейді, яғни
(7) . Сонда (5) теңсіздіктерден
Бұл
шектелген
функциясының әрқашанда төменгі де,
жоғарға да интегралдарының бар және
олардың нақты сан екенін көрсетеді.
Егер
тіктөртбұрышының анықталған және
шектелген
функциясы үшін
(8)
теңдігі
орындалса,
онда
функциясы
А төртбұрышында Риман бойынша
интегралданады деп, ал жоғарғы және
төменгі интегралдардың ортақ мәнін
функциясын А бойынша екі еселі Риман
интегралы деп атап
немесе
арқылы
белгілейді.
Кейде
екі еселі Риман интегралын
түрінде де белгілейді.
Тіктөртбұрышты облыс бойынша екі еселі интегралды қайталама жай интегралға келтіру.
Интегралдау
аймағы D мына сызықтармен
шенелген болсын. Мұндағы
сегментінде бірмәнді, үзіліссіз
функциялар. Осы шарттар орындалған
жағдайда:
(8.2)
Бұл
формуланың оң жағындағы интегралды
қайталама
интеграл деп атайды. Егер D аймағы
,
сызықтармен шенелген болса, онда
(8.3)
Бұл интегралдардың біреуін екіншісімен ауыстыруға болады.
3) Кез келген облыс үшін екі еселі интеграл.
1. Кез келген облыс үшін екі еселі Риман интегралы анықтамасы.
2. Кез келген облыс бойынша екі еселі интегралды қайталама жай интегралға келтіру.
4) Екі еселі интегралда айнымалыларды алмастыру.
1. Екі еселі интегралда полярлық координаттарға көшу (қорытуымен).
2. Екі еселі интегралда айнымалыларды алмастырудың жалпы жағдайы.
3. Якобиан
Екі
еселі интеграл
қарастырайық.
функциясы шенелген тұйық D аймағында
үзіліссіз.
(8.4)
формулалары
арқылы жаңа
және
аргументтеріне көшіп (8.4) теңдеулер
жүйесінен
деп есептеп,
(8.5)
функциялары
анықталады.
нүктесіне
координаттар жазықтығында
нүктесі сәйкес келеді. Онда (8.4)
формуласындағы функциялардың дербес
туындылары бар болады да, мына анықтауыш
,
сонда
(8.6)
теңдігі
орындалады.
-ны
функцияларының Якобинаны деп атайды.
– (8.4) түрлендіруіндегі D-ның бейнесі.
Егер (8.4) формуладан полярлық координаталарға көшетін болсақ, яғни
(8.7)
деп алсақ, онда, (8.7) алмастыруының Якобианы
екенін ескеріп,
(8.8)
теңдігіне келеміз.
Мысал
3
,
D - бірінші квадрантта жататын
дөңгелегінің бөлігі
.
Осы интегралды есептеу керек.
Шешуі
формулаларынан
;
.
Сондықтан,
.
Мысал
4
интегралын есепте, егер D:
түзулерімен шенелген аймақ болса.
Шешуі
Айталық,
болсын, онда
,
.
Ал түрлендіру Якобианы
.
Сондықтан,
,
.