- •1.Пікірлер есептеуіндегі резолюция әдісі.
- •3.Предикаттар логикасының тілі.
- •10.Предикаттар логикасындағы резолюция әдісі.
- •13.Жиында қорыту және салдар ұғымдары.
- •14.A импликация a формуласының теорема болатыны туралы лемма.
- •15. Дедукция теоремасы. Дедукция теоремасының салдарлары.
- •16. Предикаттар логикасының тілі.
- •17. Бос және байланған айнымалылар.
- •18.Термнің мәні және формуланың структурада орындалуы.
- •19.Орындалатын формулалардың қасиеттері
- •21.Ішкі структура.
- •22.Пренексті нормаланған форма туралы теорема.
- •25.Моделдегі анықталымдылық.
- •27) Тъюринг машиналары.
- •30. Қорыту.
14.A импликация a формуласының теорема болатыны туралы лемма.
а) Қорытудың қарапайым қасиеттері.
в) Лемманы дәлелдеуге қолданылатын аксиомалар..
Лемма. Пікірлер есептеуінің кез келген А формуласы үшін А ->А формуласы теорема болады, яғни |-A->A.
Дәлелдеуі. Анықтама бойынша, А ->А формуласының қорытуы болатын формулалар тізбегі табылуы керек.Енді сол қорытуды келтірейік.
(А->(A->A))->((A->((A->A)->A))->(A->A)) – Г2 нұсқасы бойынша аксиома.
(А->(A->A) –Г1 нұсқасы бойынша аксиома
(А->((A->A)->A))->(A->A) – 2 ші және 1ші формулалардың МР ережесі бойынша тікелей салдары.
(А->((A->A)->A)- Г1 нұсқасы бойынша аксиома.
А ->А – 4 ші және 3ші формулаларының МР ережесі бойынша тікелей салдары.
Сонымен|- А ->А .
Қорытудың қарапайым қасиеттері
Әрбір аксиома теорема болады. Яғни ϕ аксиома болса, онда |-ϕ.
Әрбір теорема кез келген формулалар жиынының салдары болады.
Егер ϕ € Г, онд а Г|-ϕ. Мысалы,кез келген ϕ формуласы үшін ϕ|-ϕ.
Егер Г|-ϕ және ГĆΣ болса, онда Σ|-ϕ
Егер Г|-ϕ болса,онда Г жиынының ақырлы ішкі жиыны Г1(Г1ĆГ) табылып, ол үшін Г|-ϕ болады.Бұл қасиет қорытудың финиттілігі деп аталады.
Г,Σ формулалар жиындары берілсін. Егер Г|-ϕ және Г жиынының әрбір θ формуласы үшін Σ|-Ө болса,онда Σ|-ϕ. Бұл қасиет қорытудың транзитивтілігі деп аталады.
Дәлелдеулері. Жоғарыдағы қасиеттердің алғашқы төртеуі қорыту анықтамасынан тікелей шығады.Сонда да толықтық үшін олардың дәлелдерін келтіреміз.
1-ші қасиет Егер ϕ аксиома болса, онда оның қорытуы тек соның өзінен ғана тұрады.
2-ші қасиет. Егер ϕ теорема болса,онда ол бос жиыннан қорытылады.Бос жиын кез келген жиынның ішкі жиыны болғандықтан,онда ол ϕ формуласы барлық жиыннан қорытылады.
3-қасиет. Егер ϕ€Г болса, онда бұл формуланың Г жиынындағы қорытуы тек осы формуладан ғана тұрады.
4-ші қасиет. Егер Г|-ϕ және ГĆΣ болса онда бұл формуланың қамтушы жиындағы қорытуы оның Г жиынындағы қорытуымен бірдей.
5-ші қасиет. Φ1 ϕ2 ….ϕn формулалар тізбегі Г жиынындағы ϕ формуласының қорытуы болсын. Бұл тізбекте Г жиынының элементтері кездесуі мүмкін. Олардан тұратын жиынды Г арқылы белгілейк. Онда Г ақырлы жиын шарттағы Г жиынын Г1 жиынымен ауыстыруға болады. Ендеше Г1|-ϕ.
6-ші қасиет. Φ1 ϕ2 ….ϕn формулалар тізбегі Г жиынындағы ϕ формуласының қорытуы болсын. Шарт бойынша бұл тізбектегі әр формуланың Σ жиынында қорытуы болады. Ол қорыту формулалардың ақырлы тізбегі болады. Егер ол формулаларды оларға сәйкес Σ жиынындағы қортуларымен ауыстырайық, онда ϕ формуласының Σ жиынындағы қорытуын аламыз. Яғни Σ|-ϕ
в) Лемманы дәлелдеуге арналған аксиомалар.Дедукция теоремасы. Дедукция теоремасының салдары.
Г1. ϕ->(Ψ->ϕ)
Г2.(ϕ->Ψ)->((ϕ->(Ψ->θ))->(ϕ->θ)),
Г3.(ϕɅΨ)->ϕ
Г4.(ϕɅΨ)->Ψ
Г5.ϕ->(ϕѵΨ)
Г6.Ψ->(ϕѵϕ)
Г7. (ϕ->Ψ)->((ϕ->θ)->(ϕ->(ϕɅθ)))
Г8.(ϕ->θ)->((Ψ->θ)->((ϕѴΨ)->θ)),
Г9.(ϕ->˥Ψ)->(Ψ->˥ϕ)
Г10.˥˥ϕ->ϕ
Анықтама. Қандай да бір аксиома нұсқасында кездесетін ϕΨ және θ символдарын кез келген пікірлер логикасының формулаларымен бір мезгілде ауыстыру арқылы пайда болған формуланы пікірлер есептеуінің аксиомасы деп атаймыз.
Мысалдар.
Г1 аксиомалар нұсқасындағы ϕ және Ψ символдарын, сәйкес ˥А және В пікірлер логикасының формулаларымен ауыстырғаннан пайда болған ˥А->(B->˥A) формуласы пікірлер есептеуінің аксиомасы болады.
Г8. Аксиомалар нұсқасындағы ϕ,Ψ және θ символдарын пікірлер логикасының сәйкес В,˥А және А->˥B формулаларымен ауыстырғаннан пайда болған
(В->(A->˥B))->((˥A->(A->˥B))->((B˅˥A)->(A->˥B)))
Формуласы пікірлер есептеуінің аксиомасы болады.
Бұдан кейін де ауыстыру арқылы алынған басқа да аксиомалар мысалдарымен танысамыз.
Пікірлер есептеуінде бір қорыту ережесі бар. Ол ереже модус поненс деп аталады.
МР:
Теорема (Дедукция теоремасы). Г формулалар жиыны берілсін. Онда кандай да бір ϕ және Ψ формулалары үшін Г,ϕ|-Ψ болады сонда тек сонда ғана , егер Г|-ϕ->Ψ болса.Мысалы Г бос жиын болған жағдайда, ϕ|-Ψ<->|-ϕ->Ψ
Дәлелдеуі. Айталық ϕ1 ϕ2 ϕ3 формулалар тізбегі Г жиынындағы ϕ формуласы ның қорытуы болсын.Онда анықтама бойынша ϕn=Ψ болады. Теореманы дәлелдеуді қорытудағы формулалардың саны бойынша индукцияны пайдаланып жүргізейік.
n=1 болғанда ϕ1=Ψ .Біз Г|-ϕ->ϕ1 қорытуының орындалатынын көрсетуіміз керек. Мұндағы ϕ1 формуласы үшін төмендегі жағдайлардың бірі орындалады.
а)ϕ1=аксиома
в) ϕ1€ Гᴗ{ϕ}. Онда ϕ1€ Г немесе ϕ1=ϕ жағдайларының бірі болады
Салдар. а) ϕ->Ψ,Ψ->θ|-ϕ->θ,
b)ϕ->(Ψ->θ),Ψ|-ϕ->θ
Дәлелдеуі. (а): Алдымен ϕ->Ψ,Ψ->θ,ϕ|-θ(*)
Қорытуының орындалатынын көрсетеміз.
1.ϕ->Ψ – гипотеза
2.Ψ->θ- гипотеза
3.ϕ- гипотеза
4.Ψ- 3ші 1ші формулалардың тікелей салдары.
5.θ- 4-ши және 2-ші формулалардың тікелей салдары.
Сонымен (*) қорытуы ϕ->Ψ,Ψ->θ дәлелденді,енді (*)-ға дедукция теоремасын қолдансақ, ϕ->Ψ,Ψ->θ|-ϕ->θ болады.Салдардың бұл пункті дәлелденді.
(b): Бұл жолы алдымен ϕ->(Ψ->θ),Ψ|-ϕ->θ болатынын көрсетіп алып,артынан дедукция теоремасын қолданамыз.
Сонымен ϕ->(Ψ->θ),Ψ|-ϕ->θ(**) дәлелдеп алайық.
1.ϕ->(Ψ->θ)- гипотеза
2. Ψ-гипотеза
3.ϕ-гипотеза
4.Ψ->θ- 3 ші және 1ші формулалардың тікелей салдары
5.θ-2 ші 4 ші формулалардың тікелей салдары
Сонымен (**) қорытуы дәлелденді, енді (**) –ға дедукция теоремасын қолдансақ.
ϕ->(Ψ->θ),Ψ|-ϕ->θ болады.Салдардың бұл пунктіде дәлелденді.