21.Ішкі структура.

а)Ішкі структура ұғымы. Анықтама және мысалдар.

в) Ішкі структура.туралы тұжырым.

. Ішкі структура.

Аныктама. σ сигнатурасының =<М₁,σ> =<M₂,σ> структуралары берілсін.

М₁М₂ және М, М₂ жиындарында σ сигнатурасының символдарының интерпретациялары бірдей анықталса,структурасынструктурасының iшкі структурасы деп атаймыз. Ал структурасыструктурасынқамтушы структура делінеді.

Келесі тұжырым кванторсыз формулалардың iшкi структураларға қарағанда өз мағынасын «өзгертпейтінін» көрсетеді

Келісім. L тілінің =< М,... > структурасы берілсін. Егер f,R, с - L тілінің функционалдық, предикаттық жэне константалық символдары болсын. Онда f^м,R^м және с^м арқылы осы символ- дардың структурасындағы сәйкес интерпретацияларын

белгілейміз. Егер t(x) терм және bМ^п болса, онда t^M(b) аркылы берілген термнің структурасындағы bМ^п тізбегіндегі мәні белгіленеді.

а)Ішкі структура ұғымы. Анықтама және мысалдар.

Тұжырым 5.8 L тілінің стуктурасы =<М,... > - N =<N,...> структурасының iшкi структурасы, ал φ(х) осы тілдің кванторсыз формуласы болсын. Онда кез келген аМ^т үшін М|= φ(а) (a)

Дэлелдеуі. - структурасының ішкі структурасы болған­дықтан, сигнатуралық символдар оларда бірдей интерпретацияланады. Сондықтан бұл структуралардағы сигнатуралық символдарды бірдей белгімен таңбалаймыз. Енді теореманы термдер мен формулалардың күрделілігі бойынша дәлелдейік.

Алдымен егер t(x) терм және bМ^п болса, онда

t^M(b)=t^N{b) (*)

теңдігі орындалатынын керсетейік

Егер t(x) := с константалық терм болса, онда с^м = с^N .

Егер t(x) := x_i айнымалы термі болса, онда t^M(b) = х_i = t^N(b). Енді t(x):=f(t₁,t₂,…t_n) функционалдық терм болса, онда

t^M(b) = t^N (b) болатынын дәлелдейік.

t^М(b) = t^М (t₁^М ,t₂^M(b),…, t_n^M(b))=fⁿ (t₁^M(b),t₂^M(b),..., t_n^M(b))b=

= f^N(t₁^N(b), t₂^N(b), ..., t_n^N(b)) =f ^N(b). Демек термдер үшін (*) тұжырымы дәлелденді.

Енді тұжырымды формулалар үшін дәлелдейік. φt₁(x) = t₂(x) болса,

онда =φ(b)|=t^M(b) = t^M{b)

t^N(b) = t^N(b) |= φ(b)

Егер φR(t_1,t_2,..._,t_m) түріндегі формула болса, онда

j(b) |= R^M(t₁^M(b),t₂^M(b),..,t_m^M(b))

|= R^N(t₁^M(b),t₂^M(b),..,t_m^M(b)))Y

|= R^N(t₁^N(b),t₂^N(b),..,t_m^N(b

|= R^N(t₁^N(b),t₂^N(b),..,t_m^N(b)))

Сонымен атомдық формулалар үшін тұжырымды дәлелдейік.

Егер φ(х) ¬ψ (х) туріндегі формула болса, онда

φ(b)¬ψ(b) φ(b)

ψ(b) ¬ψ(b) φ(b)

Егер φ(х)ψ(х)˄да

φ(b)ψ(b) ˄ψ(b)&

ψ(b)& ψ(b) ˄

φ(b)

Сонымен тұжырым кванторсыз формула үшін толық дәлелденді.

Енді берілген тілдің структураларын сараптауда басты кызмет атқаратын структуралардың гомоморфизмі мен изоморфизмі ұғымдарын енгізейік.

Аныктама. σ сигнатурасының М₁=<М₁,σ> жэне M₂=<M_2,σ> структуралары 6epiлiп,f: М₁ М₂ олардың негізгі жиындарының арасындағы бейнелеуі үшін келесі:

Егер g және h - т орынды алгебралық амалдары σ сигнату­расының т орынды функционалдық символының М₁ және М₂ структураларындағы сәйкес интерпретациялары болып, кез келген а_1,...,а_тМ₁ элементтері үшін

f(g(а_1,...,а_т))=h(f(а₁),…,f(а_т))

теңдігі орындалады,

Сәйкес М₁ және М₂ жиындарында анықталған Р және S - п орынды қатынастары σ сигнатурасының қандай да 6ip п орынды R предикаттық символының М₁ және М₂ структураларындағы сәйкес интерпретациялары болса, кез келген а_1,...,а_тМ₁ элементтері үшін М₁ структурасында Р(а₁,..,а_п) қатынасы орындалады М₂ структурасындаS(f(а₁),…,f(а_n)) қатынасы орындалады,

Егер а_к М₁ жэне Ь_кМ₂ элементтері σ сигнатурасының с_к константа символының М₁ жэне М₂ структураларындағы сәйкес интерпретациялары болса, онда f(a_k)= b_k теңдігі орындалады.

в) Ішкі структура.туралы тұжырым.