фхтс гвелесиани
.pdf
( ) |
( |
|
) ( |
) |
|
(1.11) |
|
|
|||||
|
Эффективную массу плотности состояний для дырок
определяют как:
|
|
⁄ |
⁄ |
|
|
|
|
( |
) |
(1.12) |
|||
|
|
|
|
|
||
Здесь |
– эффективная масса тяжелых дырок (в |
|||||
подзоне тяжелых дырок); |
– эффективная масса легких |
|||||
дырок (в подзоне легких дырок).
Аналогичные соотношения для дырок в валентной зоне записываются следующим образом:
|
|
⁄ ( |
) |
(1.13) |
√ |
|
|||
|
||||
|
|
|
|
где
( |
|
) |
(1.14) |
|
|
|
⁄ ( |
) ∫ |
|
|
|
|
(1.15) |
||
|
( |
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
и |
– безразмерные величины: |
|
, |
|
|
, |
||
|
|
||||||||
|
– энергия «потолка» валентной зоны, |
|
– приведенная |
||||||
запрещенная зона.
Для невырожденного газа электронов или дырок допускается использование в расчетах классической функции
11
http://www.mitht.ru/e-library
Максвелла-Больцмана, вместо квантовой функции ФермиДирака, что значительно упрощает формулы (1.7) и (1.13):
(1.16)
(1.17)
Вид формулы (1.16) свидетельствует, что формально все свободные электроны как бы сконцентрированы на
уровнях с одинаковой энергией |
, при этом число таких |
||
уровней равно |
. При условии |
, |
. |
Величина |
(1.8), зависящая от |
температуры и |
|
эффективной массы электронов, получила название
эффективной плотности состояний в зоне проводимости.
Аналогичное рассуждение можно применить и к дыркам в валентной зоне: в этом случае , определяемая формулой (1.14), имеет название эффективной плотности состояний в валентной зоне.
Формулы (1.16, 1.17) позволяют упростить расчеты параметров ряда важных полупроводниковых устройств (диодов, транзисторов), однако они неприменимы по отношению к туннельным диодам и инжекционным лазерам, в которых используются сильнолегированные (вырожденные) полупроводники.
1.2. Статистика примесных состояний в полупроводниках
Кроме рассмотренных выше вычислений равновесных концентраций свободных электронов и дырок в разрешенных зонах, представляет интерес и расчет концентраций связанных (локализованных) на примесных уровнях энергии электронов и дырок.
12
http://www.mitht.ru/e-library
Статистика примесных состояний отличается от статистики состояний в разрешенных зонах энергии, так как для примесных состояний не применим принцип Паули.
Дело в том, что энергетический уровень однозарядных атомов простых (мелких) доноров и акцепторов может быть занят только одним электроном или дыркой, но способов захвата электрона или дырки два – со спином +1/2 или – 1/2,
т.е. необходим учет вырождения состояния по спину.
Для примесных состояний функция распределения для электронов может быть записана с учетом вырождения состояния по спину в виде:
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
(1.18) |
||
|
|
|
|
||
где |
– энергия примесного уровня; – фактор вырождения |
||||
по спину. Для нейтральных атомов доноров (электрон на
уровне) и акцепторов (дырка на уровне) |
. |
|||||||||||
|
Вероятность заполнения электронами уровней энергии |
|||||||||||
доноров описывается функцией: |
|
|||||||||||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность заполнения дырками уровней энергии |
|||||||||||
акцепторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
, |
– уровни энергии простых доноров и акцепторов |
||||||||||
соответственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|||
http://www.mitht.ru/e-library
Вероятность заполнения уровней доноров дырками (ионизованное состояние атома донора) находится как
( |
) |
( |
), откуда, |
после |
подстановки |
||
выражения (1.19), получаем: |
|
|
|||||
|
( |
|
) |
|
|
|
(1.21) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
|
заполнения |
уровней |
акцепторов |
||
электронами (ионизованное состояние атомов акцепторов)
также находим как |
( |
) |
( |
), откуда: |
|
( |
) |
|
|
|
(1.22) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Из формул (1.18, 1.21, 1.22) следует, что g-фактор для ионизованных состояний доноров и акцепторов равен 1/2. Таким образом, нейтральное состояние простого примесного атома имеет вдвое больше статистический вес, чем ионизованное.
Для расчета концентраций нейтральных и заряженных примесных центров, кроме функций распределения нужно знать и плотность примесных состояний.
В случае простых однозарядных доноров и акцепторов
число состояний с энергией |
в единице объема кристалла |
||
равно концентрации атомов доноров |
, а для состояний с |
||
энергией равно концентрации атомов акцепторов . |
|||
Концентрации нейтральных |
и заряженных доноров |
||
, нейтральных |
и заряженных |
акцепторов легко |
|
найти из соотношений: |
|
|
|
|
|
14 |
|
http://www.mitht.ru/e-library
( |
) |
( |
) |
( |
) |
( |
) |
При :
При
Число нейтральных атомов простых доноров равно
числу связанных на них электронов: |
. |
|
Число заряженных (ионизованных) атомов простых |
||
доноров равно числу связанных на них дырок |
и числу |
|
свободных электронов : |
|
|
Для простых атомов акцепторов:
где и – число связанных дырок и связанных электронов на атомах акцепторов.
Отметим также, что в случае многозарядных, глубоких примесных центров, каждое зарядовое состояние дает свой уровень энергии в запрещенной зоне и имеет свое значение факторов вырождения. Нахождение значений этих факторов достаточно непростая задача и в основном их определяют путем специальных экспериментальных измерений образцов.
Во всех случаях, для расчета свободных электронов и дырок в зонах или связанных на примесных атомах
15
http://www.mitht.ru/e-library
электронов и дырок, требуется определение положения уровня (энергии) Ферми.
Эту величину находят из условия
электронейтральности кристалла в равновесном состоянии,
согласно которому число положительных зарядов равно числу отрицательных, т.е. суммарный электрический заряд должен быть равен нулю.
Математическая запись баланса положительных и отрицательных зарядов представляет собой уравнение электронейтральности, решение которого позволяет найти уровень Ферми.
В самом общем виде это уравнение имеет вид:
- в случае собственного (нелегированного) полупроводника:
(1.23)
где |
– концентрация собственных носителей заряда; |
|
|
- в случае примесного полупроводника n-типа: |
|
|
|
(1.24) |
где |
– число неосновных носителей заряда (дырок); |
– |
число ионов доноров; - в случае примесного полупроводника р-типа:
(1.25)
где – число неосновных носителей зарядов (электронов);
– число ионов акцепторов.
16
http://www.mitht.ru/e-library
1.3. Собственный полупроводник
Модель собственного полупроводника подразумевает, что все носители заряда сконцентрированы в разрешенных зонах, при этом в энергетическом спектре полностью отсутствуют локализованные состояния примесных центров и собственных точечных дефектов. По сути свободные носители заряда (электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне) возникают за счет разрыва валентных связей атомов полупроводника. В этом случае условие электронейтральности примет вид (1.23)
Применение соотношений (1.16, 1.17) в уравнении нейтральности собственного полупроводника дает следующие выражения для расчета положения уровня Ферми:
(1.26)
или подставив в (1.26) значения и |
получим: |
(1.27)
Рис. 1.2. Температурный ход уровня Ферми собственного полупроводника.
17
http://www.mitht.ru/e-library
Из (1.27) следует, что при 0 К уровень Ферми собственного полупроводника расположен в середине запрещенной зоны (рис.1.2).
Чаще всего и уровень Ферми смещается к зоне с меньшей плотностью состояний, т.е. к зоне проводимости.
Если допустить, что , то ( )
Подставив выражение уровня Ферми в формулу (1.16) получим выражение для собственной концентрации
носителей заряда: |
|
|
|
|
|
( ) ( |
) |
⁄ |
|
|
(1.28) |
|
|||||
|
|
|
|
||
Анализ формул (1.27, 1.28) показывает, что |
и |
||||
зависят от температуры, значений эффективных масс носителей заряда и от ширины запрещенной зоны. Последняя величина в свою очередь также зависит от температуры, уменьшаясь с ее ростом. Зависимость от в общем случае носит сложный характер, однако в определенном температурном интервале достаточно хорошо может быть описана линейной зависимостью:
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
(1.29) |
|
где ( ) |
– экстраполированное значение |
к 0 К, а |
– |
||||||||
температурный |
коэффициент |
|
изменения |
ширины |
|||||||
запрещенной зоны, эВ/град. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставим (1.29) в формулу (1.28): |
|
|
|
||||||||
|
( ) |
( |
) |
⁄ |
|
|
|
|
|
(1.30) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
учтем, что |
и |
зависят от температуры как |
⁄ |
: |
|
||||||
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
http://www.mitht.ru/e-library
( )
⁄ |
|
(1.31) |
|
где A – константа и перепишем (1.31) как:
( )
(1.32)
⁄
Из (1.32) следует, что концентрация собственных носителей заряда с увеличением температуры растет экспоненциально, а
вероятность |
переходов |
зона-зона |
пропорциональна |
||||
( |
⁄ |
). |
|
|
|
|
|
|
Для построения графика температурной зависимости |
||||||
концентрации |
собственных |
носителей |
|
заряда |
|||
прологарифмируем (1.32). |
В координатах |
( |
|
) получим |
|||
|
|||||||
прямую с углом , где |
|
|
⁄ : |
|||
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⁄ |
|
|
|
|
|
Рис. 1.3. Температурная зависимость концентрации собственных носителей заряда в спрямленных координатах.
19
http://www.mitht.ru/e-library
Соотношения (1.26-1.28), как уже указывалось, справедливы для невырожденного полупроводника. Однако при приближении значения уровня Ферми к границам запрещенной зоны (на расстояние порядка ) электроннодырочный газ становится вырожденным и для расчета и следует пользоваться соотношениями (1.7, 1.13) и условием электронейтральности (1.23).
Можно сказать, что полупроводник сильно вырожден,
если:
или
Соответственно положение уровня Ферми:
или
отвечают переходному состоянию от случая сильного вырождения к невырожденному. Отметим, что для любого невырожденного полупроводника оказывается справедливым соотношение , отражающее закон действующих масс носителей заряда.
1.4. Электронный (донорный) полупроводник
Рассмотрим полупроводник, содержащий простые однозарядные доноры с энергетическими уровнями . Энергия ионизации примесных атомов такого полупроводника (отсчитывается от дна зоны проводимости).
Условие электронейтральности имеет вид (1.24).
Воспользовавшись формулами (1.16, 1.21) можно найти положение уровня Ферми для невырожденного полупроводника.
20
http://www.mitht.ru/e-library