1365

И таким образом получаем решение расчетного задания. Остается только представить преподавателю результаты – значения неизвестных текущих концентраций веществ и скоростей накопления всех веществ. Если они правильные, Вам будет зачтено расчетное задание РЗ1.

21

КАК УПРОСТИТЬ И УСКОРИТЬ РЕШЕНИЕ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ РЗ1

Представленный выше общий способ решения задачи довольно громоздок. В то же время видно, что далеко не все вещества участвуют во всех стадиях. Иными словами,

стехиометрическая матрица заполнена мало, в ней много нулей. Поэтому ряд арифметических действий можно не выполнять, поскольку они заведомо имеют нулевой результат.

Начнем с выражения (II). Во-первых, можно его формировать сразу только для ключевых веществ.

Соответственно, из стехиометрической матрицы нам понадобятся только коэффициенты для ключевых веществ.

Во-вторых, полученную систему линейных уравнений не обязательно решать методом Крамера, который требует громоздкого вычисления детерминантов. Для ручных вычислений больше подходит метод последовательного

22

исключения переменных. Перепишем нашу систему,

опустив нулевые слагаемые.

получаем ν3= ΔE, то есть, ν3= 2. Тогда из второго уравнения

2ν1 – ν3 = ΔC получим 2ν1 – 2 = 2 и далее ν1 = 2. Из третьего уравнения ν3 + ν4 = ΔG имеем 2 + ν4 = 5 или ν4 = 3. И из

первого уравнения –ν1 – ν2 = ΔA получим –2 – ν2 = -4 или ν2

= 2. Мы получили правильный результат значительно скорее и легче, чем по универсальной методике. Конечно,

при расчетах на компьютере эта экономия не имеет смысла,

а соответствующие программы проще и надежнее

составлять на основе универсальных алгоритмов.

В-третьих, при расчете приращений для неключевых

веществ по выражению (II) можно также опускать нулевые

23

слагаемые, не рассчитывать повторно формально совпадающие значения приращений и т.д.

Что касается расчета скоростей стадий по их кинетическим уравнениям, то здесь практически ничего сократить нельзя. Зато при расчете скоростей накопления веществ по выражению (IV) становится справедливым все сказанное выше о расчете приращений количеств веществ по уравнению (II), а именно, активное использование малой степени заполнения стехиометрической матрицы. Поэтому формирование выражения для расчета скорости накопления некоторого вещества можно вести складывая скорости стадий реакции, в которых оно участвует, умноженные на соответствующие стехиометрические коэффициенты с учетом их знаков. Результат будет идентичен тому, который получен с применением матричной алгебры.

24

СМЫСЛ ПОНЯТИЙ КЛЮЧЕВОЕ И НЕКЛЮЧЕВОЕ ВЕЩЕСТВО

Сначала следует напомнить, что однозначное решение систем линейных алгебраических уравнений возможно,

если число неизвестных в них совпадает с числом уравнений, а сами уравнения линейно независимы. Иными словами, ранг такой матрицы коэффициентов для системы линейных алгебраических уравнений должен быть равен числу неизвестных. Соответственно требуется задать такое же число данных, то есть, столбец свободных членов.

Для уравнений стадий некоторой химической реакции ранг стехиометрической матрицы обычно меньше числа веществ, а часто и числа самих стадий [3]. В рассмотренном нами примере он составляет 4, в то время как число веществ составляет 7, а число стадий 4 (зависимых стадий нет). Ранг определяет число линейно независимых стадий (строки) и

число линейно независимых (ключевых) концентраций

25

веществ (столбцы), через которые можно выразить как остальные уравнения, так и остальные (неключевые)

концентрации веществ.

Отсюда и происходит разделение веществ на ключевые и неключевые. Зная приращения ключевых веществ, можно рассчитать приращения для остальных веществ. Обычно существует несколько формально равносильных наборов ключевых и, соответственно, неключевых веществ. В

предлагаемых условиях расчетных заданий РЗ1 ключевые вещества – это те, для которых заданы текущие значения концентраций. Соответственно, неключевыми являются все остальные вещества.

Для студентов, желающих обновить и применить свои знания по линейной алгебре, весьма полезно самостоятельно установить правильность выбора ключевых веществ, а также найти все возможные их наборы для своего варианта задания. Эта практика позволит Вам легко

26

усвоить подобные анализ и преобразования в специальных

предметах, где они встречаются достаточно часто.

27

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.А.Ю. Закгейм. Общая химическая технология: введение в

моделирование химико-технологических процессов. Изд.

3-е. М.: Логос, 2010. 304 с.

2.Е.В. Егорова, А.Ю. Закгейм, К.Ю. Одинцов.

Методические указания для самостоятельной работы студентов по дисциплине Моделирование химико-

технологических процессов. М.: ИЦ МИТХТ, 2005. 60 с.

3.Н.Ф. Степанов, М.Е. Ерлыкина, Г.Г. Филиппов. Методы линейной алгебры в физической химии. М: МГУ, 1976. 360 с.

28

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

29

Оглавление

30