![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Банк математического обеспечения учебных курсов общенаучных, общеинженерных и специальных кафедр
- •Работа с банком предполагает:
- •Раздел II Преобразование алгебраических выражений. Уравнения и неравенства.
- •Раздел III Пределы
- •Раздел IV Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел V Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •Раздел VI Комплексные числа
- •Раздел VII Векторная и линейная алгебра.
- •Раздел VIII Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Раздел IX Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Раздел X Двойные интегралы
- •Раздел XI Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля
- •Раздел хii Числовые и степенные ряды
- •Раздел хiii Тригонометрические ряды Фурье
- •Раздел хiv Операционное исчисление
- •Банк математического обеспечения учебных курсов общенаучных, общеинженерных и специальных кафедр
Раздел VIII Интегральное исчисление функции одной переменной
1. Знать определение
первообразной и неопределенного
интеграла
.
2. Знать определение определенного интеграла и его геометрический смысл.
3. Знать таблицу основных неопределенных интегралов.
4. Для неопределенного и определенного интегралов знать правило замены переменных и формулы интегрирования по частям.
5. Знать формулу Ньютона-Лейбница.
6. Найти интегралы:
1)2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)10)
11)
12)
13)14)
15)
16)17)
18)
19)20)
21)
22)
23)
24)
25)26)
27)
28)29)
30)
31)32)
33)
34)35)
36)
37)38)
39)
40)41)
42)
43)44)
45)
46)
7. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1);
2)
3);
4)
5);
6).
Раздел IX Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения (или решить задачу Коши):
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)9)
10)
11)
12)
(
– пост. величины)
13),
14)
,
15)
16)
17)
,
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
-- постоянные
величины;
29)
30)
31)
32)
33)34)
35)36)
37)38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
2. Показать, что общее решение уравнения гармонических колебаний
может быть представлено в виде
где
-
произвольные постоянные.
3. Найти общее решение уравнения упругих колебаний
без учета сил сопротивления при наличии периодической внешней силы
.
Использовать запись общего решения из задачи 2.
Раздел X Двойные интегралы
Изменить порядок интегрирования:
1),
2)
Перейти к полярной системе координат в интегралах:
1)
2)
Вычислить двойной интеграл
, где областьDограничена линиями
.
Используя двойные интегралы, вычислить:
площадь фигуры, ограниченной линиями
объем тела, ограниченного поверхностями
3) массу прямоугольной пластины со сторонамиAO=4,OB=3, поверхностная плотность которой меняется пропорционально расстоянию до стороныOAс коэффициентом пропорциональностиk=2;
4) координаты центра
масс однородной пластинки, область Dкоторой ограничена линиями
Указание.
Координаты центра масс находят по
формулам:
гдеS — площадь
пластинки,
—статические
моменты площади относительно осей
координат.
Раздел XI Криволинейные, поверхностные интегралы и элементы теории поля
Знать определения скалярного и векторного полей.
Знать определения операторов Гамильтона и Лапласа:
Оператор Гамильтона в декартовой системе координат
Оператор Лапласа в декартовой системе координат
.
Оператор Лапласа от скалярной функции U
в декартовой
системе координат
;
в цилиндрической
системе координат
в предположении,
что
;
в сферической
системе координат
в предположении, что
.
3. Знать определение
производной
функции
по направлению
и формулу для ее вычисления:
Знать определение градиента скалярного поля
и его физический смысл
5. Знать определение
дивергенции
векторного поля и ее физический смысл:
6. Знать определение
ротора
векторного поля
=
7. Уметь формулировать основные теоремы теории поля.
1) Формула Грина:
2) Формула Остроградского-Гаусса:
в векторной форме:
в координатной форме:
3) Формула Стокса:
в векторной
форме:
в координатной форме:
8. Уметь доказывать следующие соотношения:
,
,
.
9. Вычислить криволинейные интегралы
1)
по окружности
,
2)
по эллипсу
,
3)
,
гдеL— отрезок прямой
от точки
до точки
,
4)
.
10. Найти функцию U по ее полному дифференциалу
1)
2)
11. Найти производную
функции
в точке
в направлении, составляющем равные
углы с осями координат.
12. Задано векторное
поле радиус-вектора
.
Найти
где
.
13. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать интегралы:
1)
2)
14. Применяя формулу Стокса, показать, что
,
где L - любой замкнутый контур.