- •§1. Основные понятия
- •§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •I. Необходимый признак сходимости рядов
- •II. Признак Даламбера
- •III. Радикальный признак Коши
- •IV. Интегральный признак Коши
- •V. Признаки сравнения
- •§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов
- •§4. Степенные ряды
- •§5. Ряды Маклорена и Тейлора
- •§6. Применение рядов в приближенных вычислениях
- •§1. Основные понятия 3
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Кафедра высшей и прикладной математики
Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк
Ряды
Учебно-методическое пособие
Москва 2012
УДК 51
ББК 22.1
Рецензент – доктор физ.-мат.наук, профессор Карташов Э.М.
Л.М. Ожерелкова, А.Г. Рубин, И.А. Джемесюк
Ряды. Учебно-методическое пособие. М.: ИПЦ МИТХТ, 44 с.
Утверждено библиотечно-издательской комиссией
в качестве учебно-методического пособия
для студентов 2–4-го курсов дневного отделения
всех специальностей МИТХТ им. М.В.Ломоносова
по дисциплине «Высшая математика», поз. /2012.
ÓМИТХТ им. М.В.Ломоносова, 2012
§1. Основные понятия
Определение.Числовым рядомназывается бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения:
. (1.1)
Числа называютсячленами ряда, а член–общим или n-м членом ряда.
Ряд (1.1) считается заданным, если известен его общий член , (), т.е. задана функциянатурального аргумента. Например, ряд с общим членомимеет вид:
Образуем новую последовательность:
………………..
Определение. Суммапервых членов ряда называетсяn-ой частичной суммой рядаи обозначается.
Определение.Если последовательность частичных сумм ряда имеет предел, то такой ряд называетсясходящимся, а этот предел называетсясуммой ряда.
То есть, если , то ряд сходится, а– сумма ряда. В этом смысле можно записать.
Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда суммы нет.
Пример 1.Исследовать на сходимостьгеометрический ряд, т.е. ряд, составленный из последовательных членов геометрической прогрессии:
(1.2)
Решение.Необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессииряд (1.2) сходится, а при каких – расходится. Из школьного курса алгебры известно, что сумма первыхчленов геометрической прогрессии, т.е.n-я частичная сумма ряда приравна.
Возможно несколько случаев:
1) если , то
и , т.е. ряд сходится и его сумма.
2) если , тои, следовательно,, и ряд расходится.
3) если , то ряд (1.2) примет вид, егои,ряд расходится.
4) если , то ряд (1.2) примет вид, и егопричетном ипринечетном, следовательно,не существует, и ряд расходится.
Т.о. геометрический ряд сходится к сумме прии расходится при.
Пример 2.Найти сумму ряда:
Решение.-я частичная сумма ряда:
Учитывая, что
,,,...,,
частичную сумму ряда можно представить в виде
и тогда получаем:, т.е. сумма ряда.
Свойства сходящихся рядов
Свойство 1.Если рядсходится и имеет сумму, то и ряд, полученный умножением данного ряда на число, также сходится, и имеет сумму.
Свойство 2.Если рядыисходятся и их суммы соответственно равныи, то и рядытакже сходятся и их суммы равны соответственнои.
Свойство 3.Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или добавления) конечного числа членов.
Установить сходимость (расходимость) ряда путем нахождения частичной суммы и вычисления, как это сделано в примерах 1 и 2, возможно лишь в редчайших случаях из-за принципиальных трудностей при нахождении(суммировании первыхчленов ряда). Обычно сходимость (расходимость) ряда устанавливается с помощью специальных теорем –признаков сходимости.
В большинстве признаков сходимости вам придется вычислять некоторый предел. Напомним кратко два основных приема вычисления пределов, которыми вы будете пользоваться чаще всего.
А) Предел отношения двух степенных выражений на бесконечности равен:
0, если степень числителя меньше степени знаменателя;
, если степень числителя больше степени знаменателя;
отношению старших коэффициентов, если степень числителя равна степени знаменателя*.
Б) Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых величин (б.м.) или двух бесконечно больших величин (б.б.) равен пределу отношения их производных. Например, по правилу Лопиталя имеем: