Раздел IV Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1 Дать определение производной, знать ее геометрический смысл и знать различные обозначения производной.
2. Дать определение дифференциала, знать его геометрический смысл, знать формулу для вычисления дифференциала через производную.
3. Выписать таблицу производных основных элементарных функций.
4. Записать правила дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций, правило дифференцирования сложной функции.
5. Сформулировать теорему Лагранжа и знать ее геометрический смысл.
6. Сформулировать правила исследования функции на монотонность и экстремумы, интервалы выпуклости и точки перегиба, наличие асимптот у графика функции.
7. Найти производные первого порядка для следующих функций:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
;
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
8. Найти дифференциалы следующих функций:
1)
2)
,
3)
4)
5)
6)
6)
=?
7)
=?
8)
=?
9. Найти производные второго порядка:
1)
2)
3)
.
10. Найти пределы, используя правило Лопиталя:
2)
3)
4)
5)
.
11. Найти асимптоты (вертикальные и наклонные), интервалы монотонности, экстремумы, а также интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба и построить графики следующих функций:
1)
2)
3)
4)
5)
11. Показать, что
функция
удовлетворяет уравнению:
1) функция
, уравнение
;
2)
;
3)
.
Раздел V Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1. Знать определение
функции двух переменных
.
2. Знать определение
частных производных функции двух
переменных и уметь объяснить их
геометрический смысл
и
.
3. Знать формулу
для вычисления полного дифференциала
через частные производные
и
.
4. Знать определение
локального экстремума функции двух
переменных
.
5. Найти область определения функций (R=const):
1)
2)
3)
;
4)
5)
6)
.
6. Дана функция
Найти число
.
Найти функцию
.
7. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков для функций:
1)
2)
3)
4)
5)
8. Найти полные дифференциалы функций:
1)
2)
3)
4)
5)
.
9. Найти производные сложных функций:
1)
для функции
где
;
2)
для функции
где
;
3)
для функции
где
;
4)
где
10. Показать, что функция z удовлетворяет уравнению:
1) функция
, уравнение:
;
2) функция
,
уравнение:
.
11. Найти экстремумы функции двух переменных:
1)
;
2)
(доказать, что функции нет экстремума);
3)
;
4)
.
Раздел VI Комплексные числа
1. Уметь записать
алгебраическую форму
комплексного числа в тригонометрической
и показательной форме.
2 Записать в тригонометрической и показательной форме комплексные числа, изобразить их на комплексной плоскости точками или радиус векторами:
3. Преобразовать
к виду
комплексные
числа; изобразить их на комплексной
плоскости:
1)
2)
3)
.
4. Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости:
;
;
;
;
;
;
.
5.Решить уравнения и полученные решения изобразить на плоскости:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6).
Раздел VII Векторная и линейная алгебра.
Дать определение координат вектора в данном базисе.
Дать определение операции умножения вектора на число.
Дать определение и перечислить основные свойства скалярного произведения векторов.
Дать определение и перечислить основные свойства векторного произведения векторов.
Дать определение обратной матрицы.
Дать определение собственных чисел и собственных векторов линейного оператора.
Даны векторы
в базисе
(в декартовой системе координат). Найти:
1) сумму векторов
;
2) скалярное
произведение
;
3) векторное
произведение
;
4)
;
,
,
;
,
,
.
8. Даны векторы
и
:
.
Построить векторы:
.
Найти:
а) скалярное и
векторное произведения
и
;
б)
.
9. Даны точки A(0;1;1),B(2;2;1),C(1;4;5). Найти площадь треугольникаABC. Найти длину высотыBH.
10. Даны точки A(0;1;1),B(2;2;1),C(1;3;5),D(0;0;1). Найти объем пирамидыABCD. Найти длину высотыDH.
11. Вычислить определители:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
Задачу 4) решить методом сведения определителя к треугольному виду.
12. Являются ли линейно зависимыми векторы:
1)
;
;
2)
;
;
.
Ответ обосновать.
13. Найти линейную зависимость между векторами:
1)
;
;
2)
;
;
.
14. Найти обратную
матрицу
,
если
1) A=
2)
3)A=
15.Решить методом Гаусса системы уравнений:
1)
2)
3)
4)
16. Решить систему уравнений матричным методом и по формулам Крамера:
1)
2)
17. Решить матричные уравнения:
1)
2)
18. Найти ранг матрицы:
1)
2)
3)
19. Написать уравнение плоскости:
1) проходящей через
точку M0(1;1;1)
перпендикулярно вектору
.
2) параллельной оси OZ и проходящей через точки М1(2;2;0) и М2(4;0;0).
3) проходящей через точки М1(1;-1;2), М2(2;1;2) и М3(1;1;4).
20. Найти угол между
плоскостями
и
.
21. Написать уравнение прямой, проходящей через
1) точку А(4;3;0)
параллельно вектору
;
2) точки А(-1;2;3) и В(2;6;-2) и найти ее направляющие косинусы.
22. Написать канонические и параметрические уравнения прямой
1)
2)
23. Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:
1)
2)
3)
