Занятие 2. Полярная система координат. Построение графиков функций методом сдвига и растяжения вдоль осей координат.

Определение. Основные элементыполярной системы координат– полярная ось и полюс. По отношению к ним определяется положение точки на плоскости.Полярные координатыточки– это пара чисел, где– расстояние отдо полюса, а– это угол между полярной осью и. (см. рис.1).

Пусть полярная система координат расположена так, что полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью . Пусть точкаимеет декартовы координатыи, т.е., а полярные –и, т.е., с другой стороны,(см. рис.2).

Тогда:

;

Примеры:

1. Даны декартовы координаты точки :. Найти её полярные координаты, т.е.и.

▲ Имеем: ,,

.

2. Даны полярные координаты точки :. Найти её декартовы координаты, т.е.и.

▲ Имеем: ,

.

3. Задать кривые в полярных координатах (при помощи уравнения ).

а);б);в).

▲ Подставим в уравнение кривой вместо выражение, а вместо– выражение, и выразимчерез:

а);

б);

в).

Геометрические преобразования графиков функций.

Предположим, построен график функции . Требуется построить на его основе график функции, где– константы. Далее, в таблице приведен ряд правил построения таких графиков.

	Преобразование функции	Преобразование графика
		График сдвигается вдоль осина"единиц" вправо, если, и "" единиц влево, если.
		График сдвигается вдоль осина "" единиц вверх, если, и "" единиц вниз, если.
		При графикрастягивается враз вдоль оси; приграфиксжимается враз вдоль оси.
		При графиксжимается к осивраз; приграфикрастягивается от осивраз.
		Сохранить часть графика над осью, а то, что под– отразить симметрично относительно.
		Сохранить часть графика при, и, кроме того, эту часть отразить симметрично относительно оси.
		График отразить симметрично относительно.
		График отразить симметрично относительно.

Замечания.

1) Применяя последовательно эти приемы, можно построить график функции вида;

2) Период функций,равен.

Примеры.

I. Случай 1), 2).

а)Рассмотрим функцию.

График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" параболы как единого целого на 2 единицы по осивправо и на 1 единицу по осивверх (см. рис.3).

б)Рассмотрим функцию.

График этой функции можно получить путем сдвига "стандартной" гиперболы по осивлево на 1 единицу и по осивверх на 1 единицу (см. рис.4).

II. Случаи 3), 4).

а)Рассмотрим функцию.

График этой функции можно получить путем растяжения графика вдоль осив 2 раза. При этом нули обеих функций одинаковы – это точки вида,(см. рис.5).

б)Рассмотрим функцию.

График этой функции можно получить из графика путем сжатия его в 2 раза к оси. Период функцииравен(см. рис.6).

III. Случаи 5), 6).

Рассмотрим функции и.

Их графики можно получить из графика функции по правилам 5) или 6) (см. рис.7 и рис.8).

Рис. 8

IV. Случаи 7), 8).

Рассмотрим функции и.

Их графики можно получить из графика функции по правилам 7) и 8), соответственно (см. рис.9 и рис.10).

Задачи для самостоятельного решения.

I. Построить графики функций (методом сдвига и растяжения вдоль осей координат):

1)	9)
2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	10) 11) 12) 13) 14) 15)

II.

а)Даны декартовы координаты точки:.

Найти ее полярные координаты и.

б)Даны полярные координаты точки:.

Найти ее декартовы координаты и.

в)Задать кривые в полярных координатах при помощи уравнения:,.

Ответы:

II.а);б);в),.

Занятие 3.

Предел функции. Непрерывность функции.

Вычисление пределов непрерывных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

Определение 1. Числоназывается пределом функциипри, стремящемся к, если для любого числасуществует число(зависящее от), такое, что для любого, удовлетворяющего условию, выполнено неравенство

.

Пишем:.Говорим: Пределпри, стремящемся к "", равен "" (или:стремится к "" при, стремящемся к "").

Определение 2.Числоназывается пределом функциипри, если для любого числасуществует число(зависящее от), такое, что для всех, удовлетворяющих условию

,

выполнено неравенство

.

Пишем: (или,).

Некоторые свойства пределов.

1. ;

2. ;

3. (– константа);

4. ,;

5. ;

6. 

Определение.Функцияназываетсянепрерывнойв точке, если: 1)определена при; 2) существует; 3).

Теорема.Все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения.

Далее мы рассмотрим ряд стандартных пределов (непрерывной, рациональной, иррациональных функций) и сформулируем правила их вычисления.

Вычисление пределов вида , где–

функция, непрерывная в точке а.

Правило:Воспользоваться формулой:

.

Примеры:

1. ;

2. ;

Вычисление пределов вида , где–

многочлены (неопределенность вида ).

Правило:

Замечание. Функция , где –многочлены, называетсярациональной.

Примеры:

3. ;

4. ;

5. .

Вычисление пределов вида , где– многочлены, причем

(неопределенность вида ).

Правило. В этом случае надо сократить числитель и знаменатель наодин или несколько раз.

Пример:

3. .

Замечания.

1. Если или, то предел находим непосредственно.

Примеры:

3. ;

4. ;

5. .

б) Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числа:

.

Вычисление пределов некоторых иррациональных

функций.

Правило 1.Ввести новую переменную "" так, чтобы можно было извлечь все корни, содержащиеся в функции (обычно функция содержит более одного корня; эти корни – разной степени).

Пример.

3. .

Мы сделали замену: ; при.

Правило 2.Перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

Пример.

3. 

.

Умножили числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю. В результате преобразований корни из числителя "исчезли", но появились в знаменателе.

Замечание.Задачи такого типа составляются и решаются следующим образом. Берем любые числаи:

В случае примера 11: .

Правило 3.Разделить числитель и знаменатель на "" в наивысшей степени, встречающейся в функции (возможно, после некоторых преобразований функции). Обычно в этих случаях.

Пример.

3. .