ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Московская государственная академия

тонкой химической технологии

им. М.В. Ломоносова

Кафедра

высшей и прикладной

математики

Скворцова м.И., Мудракова о.А.

Практикум

по математическому анализу

для студентов вечернего отделения

1-ого курса

(Часть III)

Учебно-методическое пособие

Москва, 2007

УДК 512.8:516

ББК С42

Рецензенты:

1. к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н. (Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе);

2. к.ф.-м.н., доцент Краснослободцева Т.П. (МГАТХТ им. М.В. Ломоносова).

Скворцова М.И., Мудракова О.А.Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-ого курса (ЧастьIII), Учебно-методическое пособие – М.: МГАТХТ, 2007 – 48 с.; рис. 5.

Пособие представляет собой конспекты 5 практических занятий по курсу математического анализа для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М.В. Ломоносова. Оно является продолжением учебно-методического пособия: Скворцова М. И., Мудракова О. А., Кротов Г.С. // Практикум по математическому анализу для студентов вечернего отделения 1-ого курса (Часть II); М., МГАТХТ, 2006.В частьIIIвключены следующие разделы: «Дифференциальное исчисление функций двух переменных», «Метод наименьших квадратов». Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 4-х занятий содержат краткое изложение соответствующей теории, типовые примеры и задачи для самостоятельного решения. В конспекте одного из занятий приведен образец варианта контрольной работы (с решениями), проводимой на этом занятии. Дан перечень 28 вариантов задания для самостоятельной работы по теме «Метод наименьших квадратов» (с ответами).

Пособие предназначено для студентов вечернего и очно-заочно отделений вузов химического профиля. Оно может быть использовано также и студентами дневного отделения вузов вышеуказанного профиля.

© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2007

Оглавление

Занятие 13. Функции двух переменных: основные определения. Частные производные и дифференциал функции двух переменных. 4

Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции 15

Занятие 15. Экстремумы функции двух переменных. Элементы теории поля 22

Занятие 16. Контрольная работа №3 по теме «Дифференциальное исчисление функций двух переменных». Вариант-образец. 33

Список литературы 46

Занятие 13. Функции двух переменных: основные определения. Частные производные и дифференциал функции двух переменных.

Определение. Пусть на плоскостизадано некоторое множество. Зависимость переменнойот переменныхиназываетсяфункцией двух переменных, если каждой паре чиселставится в соответствие единственное значение.

Пишем:.

Говорим:есть функция оти.

При этом иназываются независимыми переменными (аргументами), а– зависимой переменной.

Определения.

1. Область определения функции – это множество всех пар, для которых она определена, т.е. множество;

2. Множество значений функции – это множество

;

3. График функции – это множество точек, таких, что, а(это поверхность в).

Пример 1 (Определение множеств и построение графика функции).

Рассмотрим функцию .

Область определения этой функции:

–

круг радиуса с центром в точке. Множество значений функции:– отрезок.

График функции – это верхняя часть сферы радиусас центром в точке(рис. 1).

Пример 2 (Определение области и изображение ее

на плоскости).

Рассмотрим функцию .

Найдем ее область определения . Т.к. функция «логарифм» определена только для положительных значений аргумента, то

Изобразим на плоскости:

Пример 3 (Определение области и изображение ее

на плоскости).

Рассмотрим функцию .

Найдем ее область определения . Т.к. функция «арксинус» определена только для значений аргумента, принадлежащих отрезку, то. Т.к. функция «квадратный корень» определена для неотрицательных значений подкоренного выражения, то. Имеем систему неравенств, задающую область:



На рис. 3 изображена область , представляющая собой две части кольца, ограниченного окружностямии, расположенных вI-ой иIII-ей четвертях координатной плоскости.

* * * * *

Значение функции в некоторой конкретной точкеобозначатся:

или.

Пример 4 (Нахождение значения функции в точке).

Для функции и точек:

а) ;б) ;в) найти значение.

Подставим в выражение для вместоизаданные значенияи:

1. ;

2. ;

3. .

Определение. Частной производной (читаем: «зэт штрих по икс») функциипо переменнойназывается следующий предел:

.

Аналогично определяется частная производная (читаем: «зэт штрих по игрек»):

.

Для частных производных, наряду с , , используются также следующие обозначения:

.

(или ).

Запись «» читаем «дэ эф по дэ икс».

Значение частной производной в некоторой фиксированной точкеобозначаем так:

или , или, или.

Определение. Полный дифференциал функциив точке– это выражение вида:

,

где ,d y ≡Δy- приращения аргументови. (Таким образом,зависит от заданной точкии заданных приращений,аргументови).

Определение. Частные производные 2-го порядка от функции– это частные производные поили поот функцийи, т.е.:

,;,

или, в других обозначениях:

,,,

.

Замечания.

1. Частные производные иназывают смешанными частными производными.

Если определена в некоторой областии ее частные производные,,,определены и непрерывны в, то(теорема Шварца).

2. Аналогично определяется функция переменныхи ее частные производныеили.

Пример 5 (Вычисление ,и).

В процессе нахождения частной производной полагаем, что вторая переменная– это константа. В этом случае нахождениесводится к нахождению обычной производной от функции одной переменнойс соблюдением всех правил дифференцирования. Аналогичное верно и для.

1. Найдем ,идля функции.

Имеем:

;

;

.

2. Найдем ,идля функции.

Имеем:

;

;

.

3. Найдем ,для функции.

Имеем:

Пример 6 (Нахождение частных производных 2-го

порядка).

Найдем ,,,для функции.

Имеем:

,,

,,

.