2. Стоимость денежных потоков.

2.1. Приведенная и будущая стоимость.

Наращенная сумма, полученная в результате потока платежей, называется будущей стоимостью FV (future value). Начальная стоимость потока платежей называется приведенной стоимостью PV (present value).

В предыдущей главе процессы наращения и дисконтирования рассматривались при осуществлении разового платежа в определенное время. На практике погашение долгосрочной банковской ссуды, коммерческого кредита, арендные платежи, страховые платежи, погашение ипотечного кредита, инвестиции и т.д. предполагают выплаты или денежные поступления через определенные промежутки времени. Возникает распределенный во времени денежный поток (cash flows stream), причем в общем случае неодинаковыми по величине разовыми платежами и с разными процентными ставками за периоды.

Наращенную сумму, полученную в результате потока платежей, будем называть будущей стоимостью и обозначать, как это принято в большей части финансовой литературы FV (future value). Начальную стоимость потока платежей будем, как это принято, называть приведенной стоимостью и обозначать PV (present value). Существуют потоки платежей, которые поступают через равные промежутки времени, члены потока либо положительны (доход), либо отрицательны (выплаты), либо подчинятся какому-то определенному закону. Возможны и такие потоки платежей, которые поступают в разные промежутки времени и могут быть, как положительными, так и отрицательными разными по величине. Для наглядности принято графическое изображение потоков платежей. Такое представление позволяет решать достаточно сложные задачи, связанные с распределенными во времени потоков платежей.

Рис. 2.1. Графическое изображение будущей стоимости потока платежей.

0 1 2 3i N

FV

Будущая стоимость такого потока платежей будет равна сумме стоимостей наращенных потоков платежей.

, (2.1)

где - величина платежа в момент времени,- процентная ставка, соответствующая- тому периоду,N – число периодов. Величины могут быть как положительными, так и отрицательными, процентные ставкиза- период и длительность- го периода во времени тоже могут быть различны. Если величина платежаи процентная ставкапостоянны во времени и длительности периодов равны, то будущую стоимость такого потока легко рассчитать, поскольку будущая стоимость такого потока платежей – это сумма возрастающей геометрической прогрессии со знаменателем¹.

= , (2.2)

где N – число периодов начисления. Величина множитель наращения, который показывает во сколько раз будущая (наращенная) сумма больше величины первого платежа.

Пусть теперь имеется поток платежей, показанный на рис.2.

Рис.2.2. Графическое изображение приведенной стоимости потока платежей.

C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C_i C_N

0 1 2 3 4 5 i N

Приведенная стоимость такого потока равна сумме дисконтированных стоимостей платежей.

, (2.3)

где - величина платежа в момент времени,- процентная ставка, соответствующая- тому периоду. Если величина платежаи процентная ставкапостоянны во времени и длительности периодов равны, то приведенную стоимость такого потока легко рассчитать, поскольку будущая стоимость такого потока платежей – это сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем.

; (2.4)

(2.5)

Величина называется коэффициентом дисконтирования. Приведенные выше формулы расчета приведенной и будущей стоимости потока платежей отражают «временной» характер стоимости денег, инвестиций. Можно считать, что они являются основными уравнениями в финансовых расчетах и играют такую же роль в финансовых расчетах, как и второй закон Ньютона в механике.

Задачи, в которых необходимо находить приведенную и будущую стоимость потоков платежей, очень разнообразны. Это ренты, страховки, кредиты, ипотека, оценка инвестиций и т.д.

Доходность денежного потока.

Представим на графике зависимость приведенной стоимости от процентной ставки. Для потока платежей, рассмотренного выше, эта зависимость имеет вид показанный на рисунке ниже.

Рис.2.5 Зависимость чистой приведенной стоимости от величины процентной ставки.

Из графика видно, что существует такая процентная ставка, при которой PV равна нулю. При этой процентной ставке приведенные стоимости затрат и доходов равны. Такая процентная ставка называется внутренней ставкой доходности (внутренней доходностью потока платежей) – «ВСД» (IRR – internal rate of return). Внутренняя ставка доходности применяется для оценки доходности инвестиции.