Задачі на використання основних формул комбінаторики.

Розглянемо задачі, в розв’язанні яких використовуються основні формули комбінаторики.

Задача 10. На футбольний турнір треба послати збірну команду в складі: тренер, його помічник, 2 асистента, 20 футболістів, лікар і 2 масажиста. Тренерський склад може бути відібраний з 10 спеціалістів, футболісти з 25 спортсменів, лікаря треба вибрати одного з трьох, а масажистів двох з п'яти. Скількома способами може бути укомплектована така команда ?

Розв’язання. Тренер і його помічник можуть бути вибрані з 10 спеціалістів способами (оскільки вони займають різні посади). З 8 спеціалістів, що залишилися, два асистента можуть бути вибрані способами (оскільки вони займають однакові посади). Футболісти можуть бути вибрані способами, лікар способами і масажисти способами. Використовуючи правило добутку, отримаємо, що всього можливо способів.

Задача 11. Із цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 утворюються всілякі шестицифрові числа, що не містять однакових цифр. Визначити кількість таких чисел, в яких є цифри 1,2,3 одночасно.

Розв’язання. Щоб скласти таке шестицифрове число, до заданих цифр 1,2,3 треба додати три з шести цифр, що залишилися. Це можна зробити способами. У кожному отриманому наборі з шести цифр, шляхом перестановок, утворимо потрібні шестицифрові числа. Тому всього таких чисел за правилом добутку буде .

Задача 12. 3 8 тенісистів і 6 тенісисток утворюють 3 змішані пари (в пару входять по одному тенісисту і одній тенісистці). Скількома способами це можна зробити ?

Розв'язання. Пронумеруємо три пари: №1, №2, №3. З урахуванням нумерації тенісистів можемо розставити по парах способами, а тенісисток способами. Всього буде способів. Але порядок пар не враховується, тобто шукане число буде в раз менше. Отже, всього способів буде .

Додаткові завдання.

1. В групі 10 чоловік. Скільки є способів відправити на екскурсію чотирьох чоловік з цієї групи ?

2. На площині п точок розміщено так, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Скільки прямих можна провести через ці точки ?

3. Скільки можна побудувати трикутників, якщо за їхні вершини брати вершини дванадцятикутника ?

4. Під час зустрічі 12 чоловік потиснули один одному руки. Скільки рукостискань було зроблено ?

5. Скількома способами можна скласти групу з трьох учнів і одного викладача, якщо є 80 учнів і 3 викладача ?

6. Три стрільця повинні улучити 15 мішеней (кожен по п'ять). Скількома способами вони можуть розподілити мішені між собою?

7. Із групи в 12 чоловік протягом 6 днів щодня вибирають двох чергових. Визначити кількість різних списків чергових, якщо кожен чергує один раз.

8. Скільки різних варіантів хокейної "шістки" можна скласти з 2 воротарів, 13 нападаючих і 7 захисників, якщо до її складу входять 1 воротар, 3 нападаючих та 2 захисника ?

9. У фортепіанному гуртку навчаються 10 чоловік, у гуртку художнього слова 15, у вокальному гуртку 12 і у фотогуртку 20 чоловік. Скількома способами можна утворити групу з чотирьох читців, трьох піаністів, п'яти співаків і одного фотографа ?

10. Із 15 робітників фірми директорові треба виділити бухгалтера, його помічника, двох менеджерів і чотирьох кур’єрів. Скількома способами це можна зробити ?

11. .Двадцять вісім костей доміно розподілено між чотирмагравцями. Скільки можливо різних розподілів ?

12. На біржу фірма повинна відрядити двох брокерів, трьох ділерів і одного менеджера. Скількома способами це можна, зробити, якщо до складу фірми входять 15 брокерів, 10 ділерів і 5 менеджерів ?

13. Районна фірма "Свято" має обрати з 10 Дідів Морозів і 6 Снігуроньок чотири пари для новорічних поздоровлень. Скількома способами це можна зробити ?

14. З цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 утворюють всілякі п’ятицифрові числа, що не мають однакових цифр. Визначити кількість чисел, в яких є цифри 7,8,9 одночасно.

15. Для поздоровлення дівчат, яких у класі 10, зі святом, хлопці вирішили купити 10 різних книг з 15, які запропонувало видавництво "Факти". Скільки є різних способів отримання подарунків дівчатами ?