Сполучення (комбінації) без повторень

Перевірка лекційного матеріалу (фронтальне опитування)

• Дайте означення сполучення з елементів по .

• Запишіть формули за якими знаходиться

• Запишіть основні властивості комбінацій

Задача 1. Скількома способами можна вибрати трьох чергових із класу, у якому 20 учнів ?

Розв’язання. способами.

Задача 2. Скількома способами можна роздати 6 різних предметів трьом особам так, щоб кожна отримала по 2 предмета ?

Розв’язання. Перша особа може вибрати довільні два предмети з шести способами; друга може вибрати два предмети з чотирьох, що залишилися, способами; а третя візьме два останніх предмета =1 способом. За правилом добутку всього способів.

Задача 3. Скількома способами можна вибрати 2 олівця і 3 ручки з 6 різних олівців і 8 різних ручок ?

Розв’язання. Олівці можна вибрати способами, а ручки способами. Отже, всього є способів.

Задача 4. Скільки різних звукосполучень можна взяти на десяти вибраних клавішах рояля, якщо кожне звукосполучення може містити від трьох до десяти звуків ?

Розв’язання. Очевидно, що нам потрібно знайти суму . Застосуємо властивість комбінації. Маємо: , , , . Тому шукана кількість звукосполучень дорівнює способів.

Задача 5. В колоді 36 карт, з них 4 тузи. Скількома способами можна вибрати 6 карт так, щоб серед них було рівно 2 тузи ?

Розв’язання. Виберемо два тузи з чотирьох способами, а ще чотири карти виберемо з 32 , що залишилися, способами. За правилом добутку остаточно маємо, що способів вибору буде .

Задача 6. У вазі стоять пронумеровані 10 червоних і 5 рожевих гвоздики. Скількома способами можна вибрати з вази: а) три квітки; б) три квітки одного кольору; в) три квітки так, щоб серед них були як червоні, так і рожеві гвоздики ?

Розв’язання. а) =455 способами, б) Можна вибрати три червоних гвоздики способами, або три рожевих способами. За правилом суми маємо способів вибору, в) Можна вибрати дві червоні і одну рожеву гвоздики способами, або одну червону і дві рожеві гвоздики способами. Отже, всього способів буде .

Задача 7. З групи, в яку входять 7 хлопчиків, і 4 дівчини, треба скласти команду з 6 чоловік так, щоб вона містила не менше двох дівчинок. Скільки є способів скласти таку команду ?

Розв’язання. Якщо в команді 2 дівчини і 4 хлопця, то маємо способів; якщо по 3 дівчини і хлопця, то способів; якщо ж 4 дівчини і 2 хлопця, то способів. За правилом суми всього маємо спосіб.

Задача 8. Скільки різних добутків, кратних 10, можна дістати з чисел 2,3,5,7,11,13 ?

Розв’язання. Будемо складати добутки, кратні 10 , у вигляді , де п всі можливі добутки з чисел 3,7,11,13. В число п можуть включатись від 0 до 4 множників. Отже, всіх можливих добутків, що задовольняють умові, буде .

Задача 9. Скільки різних дільників має число 2310?

Розв’язання. Оскільки , то число d буде дільником 2310, якщо d  добуток чисел з набору 2,3,5,7,11. Будемо складати всі можливі добутки з цих чисел(вони містять від 1 до 5 множників) і додамо дільник даного числа 1. Отримаємо, що число 2310 має дільники.