Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и– бесконечно малые функции в точке.

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

          ,

          (первый замечательный предел),

          (второй замечательный предел),

          ,

          ,

          .

Во всех приведенных выше формулах при.

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить ина эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки. Поэтому сначала сделаем замену переменнойи будем искать предел при(если, то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 12. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и– бесконечно малые функции в точке.

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

          ,

          (первый замечательный предел),

          (второй замечательный предел),

          ,

          ,

          .

Во всех приведенных выше формулах при.

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить ина эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки. Поэтому сначала сделаем замену переменнойи будем искать предел при(если, то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 13. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и– бесконечно малые функции в точке.

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

          ,

          (первый замечательный предел),

          (второй замечательный предел),

          ,

          ,

          .

Во всех приведенных выше формулах при.

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить ина эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки. Поэтому сначала сделаем замену переменнойи будем искать предел при(если, то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 14. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.