Понятие предела последовательности

Постановка задачи.Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

    

План решения.

1. По определению число называется пределом числовой последовательности, если. Это означает, чтонеравенствоимеет решение.

2. Находим, при каких справедливо неравенство

,

т.е. решаем это неравенство относительно .

3. Если решение имеет вид , то– предел числовой последовательности.

Замечание. Если решение неравенстванельзя представить в виде, то числоне является пределом последовательности.

Задача 1.Доказать, что(указать).

Покажем, что для любого существует такой номер, чтодля всех.

.

.

Из последнего неравенства следует, что можно выбрать (квадратные скобки означают целую часть) и при любыхбудет выполняться неравенство. Значит, по определению предела последовательности

.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи.Вычислить предел

,

где

,

.

План решения.

Здесь – многочлен степени(бесконечно большая последовательность порядка) и– многочлен степени(бесконечно большая последовательность порядка).

1. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим, где.

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то;

если , то;

если , то по теореме о пределе частного

.

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядкаи– бесконечно большая последовательность порядка().

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

2. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то;

если , то;

если , то по теореме о пределе частного

.

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

 

Постановка задачи.Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядкаи– бесконечно большая последовательность порядка().

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

2. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то;

если , то;

если , то по теореме о пределе частного

.

Замечание.Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядкаи– бесконечно большая последовательность порядка().

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

2. Вынесем в числителе множитель , получим, где.

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то;

если , то;

если , то по теореме о пределе частного

.

Замечание. Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи.Вычислить предел последовательности

,

где и.

План решения.

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:

,

где – бесконечно малая последовательность при. Так какпри, то

.

2. Если () и, то

.

Следовательно, если существует предел

,

то окончательно имеем

.

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.