Неопределенный и определенный интегралы

8. Вычислить интеграл

dx

.

x

4x

2

4x 3

Решение:

Так как a 4 0 , то применим первую под-

становку Эйлера:

4x2

4x 3

t 2x .

Отсюда 4x2

4x 3 t 2

4tx 4x2

; 4x 3 t 2 4tx ;

x

t 2 3

;

4 1 t

dx

t 2 2t 3

dt ;

4x

2

4x

3 t

t 2 3

t 2 2t 3

.

4 1 t 2

2 1 t

2 1 t

dx

2 1 t 4 1 t t 2 2t 3

dt

x 4x

2

4x

3

t

2

2t 3 t

2

3 4 1 t

2 2

2dt

1

t 3

1

2x

2

4x

3 3

ln

c

ln

4x

c .

t

2

3

3

t 3

3

2

2x 4x

4x 3 3

Проверка:

d

1

2

1

2

ln

2x

4x

4x 3 3

ln

2x

4x

4x 3

3

c

dx

3

8x 4

3

8x 4

2

2

1

2 4x2 4x 3

2 4x2 4x

3

3

2x

4x

2

4x

2x

4x

2

4x 3 3

3 3

2

4x2 4x 3 2x 1

2 3

3

4x2 4x 3

2x

4x2 4x 3 2 3

2

4x2 4x 3 2x 1

2

4x2 4x 3

4x2 4x2 4x 3 4x 4x2 4x 3 3

4

4x2 4x 3 2x 1

1

4x2 4x 3 4x

4x2 4x 3 2x 1

.

x 4x2 4x 3

11

1.

При вычислении интеграла

dx

при-

1 x 1 x

x

2

меняем вторую подстановку Эйлера:

1 x x 2 tx 1, т.к.

здесь a 0 и c 0 .

x 1 dx

2.

При вычислении интеграла

при-

x2 2x

x2

2x

меняем

третью подстановку

Эйлера,

x 2

2x xt

т.к.

x 2 2x имеет два различных действительных корня 0 и -2.

9.

Вычислить интеграл

dx

.

x 4 x 1 10

dx

4t3dt

tdt

t 1 1

dt

dt

4

4 t 1 10

4

4

x 4 x 1 10

t2 t 1 10

t 1 10

t 1 9

t 1 10

4 t 1 9 dt 4 t 1 10 dt

4

t 1 8

4

t 1 9

c

8

9

1

4

c .

2 4 x 1 8

9 4 x 1 9

1

4

8

1

4

4 9

1

4

d

c

4

8

4

x

9

4

x

9

4

x

3

10

4

x

3

4

dx

2

x 1

9

1

2

1

9

x 1

4

x 1 1

1

.

4 x3 4 x 1 10

x 4 x 1 10

10. Вычислить интеграл

dx

.

x

4

1 x

2

Решение:

f x

Перепишем подынтегральную функцию

в виде

xm a bxn p . Имеем:

f x x 4 1 x2

1

,

т.е. m 4 ,

n 2 ,

2

p

1

, и

m 1

p

4 1

1

2

– целое число. Следо-

2

2

2

n

ференциального

бинома.

Полагаем

1 x2

x 2

1 t 2 ,

x2

2x 3 dx 2tdt .

Интегрируя, получим:

dx

1

1

1

4

2

4

2

2

x

1 x

2 dx x

x

1

dx

x

4

1 x

2

x

2

x 2

1 x 2 x 3 dx

x 2 1 3

t2

1 t

1 tdt t2 1 dt t t3 c

x 2

1

c

3

2x2

1

3

1 x2

c .

3x3

13

d

2

x 2 1 3

2x3

3 x 2

1

2 x 3

x

1

c

dx

3

2 x

2

1

3 2

x

1 x2

x2 1 x2

1

.

1 x2 x3

x4

x4 1 x2

x4 1 x2

11. Вычислить интеграл

dx

.

a

2

b

2

cos

2

x

становку tgx t ,

dx

dt , cos2

x

1

.

cos2 x

1

t 2

Интегрируя, получим:

dx

dx

dt

b2

cos2

x a2 sec2

x b2

a2 1 t2

a2 b2 cos2

x

dt

1

dt

a2t2 a2 b2

a2

t

2

a2

b2

a2

1

a

at

1

a tgx

arctg

c

arctg

c

a2

a2 b2

a

a a2 b2

a2 b2

2 b2

Проверка:

d

1

a

tgx

arctg

c

2

2

2

2

dx

a

b

a

b

a

1

1