Теоретические основы изучения статистических закономерностей радиоактивного распада

Многие атомы (точнее, ядра атомов) испытывают спонтанный распад, при котором обычно происходит испускание так называемых β – частиц (быстрых электронов и позитронов), α – частиц (ядер атома гелия), а также жесткого электромагнитного излучения – гамма квантов. В этом заключается явление радиоактивности, открытое Беккерелем в 1896 г. Скорость распада определяется статистическим законом, который предсказывает, что из N₀ атомов, существовавших в начальный момент времени (t = 0) к моменту времени t, в результате спонтанного радиоактивного распада остается N(t) атомов:

(1)

Постоянная λ, определяющая скорость распада, является характеристикой данного ядра (данного изотопа). Другой характеристикой изотопа, непосредственно связанной с постоянной распада λ, является период полураспада T – время, по истечении которого остается половина первоначально расщепившихся ядер. Легко показать, что величины λ и T связаны следующим образом:

(2)

В самом деле, если в начальный момент t = 0 было N атомов, а в момент T по определению их осталось N/2 = N(T), то из (1) следует

,

откуда , .

Используя некоторые выводы теории вероятностей и математической статистики, можно показать, что приведенный выше закон радиоактивного распада (1) выводится из следующих предположений:

а) каждое ядро распадается независимо от остальных, т.е самопроизвольно, спонтанно;

б) вероятность того, что атом, ”выживший” с момента времени t,распадается в интервале времени (t+∆t) не зависит от t.

Проверка этих положений теории и является целью эксперимента в данной лабораторной работе.

Покажем, что справедлив закон радиоактивного распада (1) следует из предположения, сформулированного выше. Напомним вначале, что вероятность P некоторого события A (которое, в частности, может замечаться в распаде ядра) определяется как отношение числа успешных наблюдений (числа распадов) к общему числу испытаний (общее число атомов) при достаточно большом числе этих испытаний.

Вероятность принимает численные значения от 0 (для невероятных событий) до 1 (для достоверных событий). Вероятность P противоположного события А (в нашем примере противоположное событие заключается в том, что ядро не распадается) связана с вероятностью Р простым соотношением

(3)

Если в начальный момент времени t = 0 исследуемый радиоактивный препарат содержал N атомов, то по истечении времени наблюдения t число нераспавшихся атомов N определяется соотношением

(4),

где - вероятность того, что атом не распадается за время от t = 0 до t = t₀ , т.е. для нераспавшихся атомов N в общем числе ”наблюдаемых” атомов N₀ :

Основная задача сводится к определению величины .

Как показывают опыты, скорость радиоактивных превращений не зависит от концентрации радиоактивных атомов и внешних условий. Это обстоятельство однозначно указывает на то, что радиоактивный распад есть свойство самого ядра и зависит только от его внутреннего состояния. Распад ядра атома есть событие случайное, происходящее самопроизвольно, спонтанно.

Вероятность распада Р отдельного атома радиоактивного элемента за промежуток ∆t не зависит от условий, в которых атом находится в настоящее время или находился ранее. Эта величина для данного радиоактивного вещества, таким образом, не зависит от времени t при малых значениях ∆t вероятность Р зависит только от величины интервала ∆t, причем линейно:

(5)

здесь λ – коэффициент пропорциональности, имеющий смысл постоянной распада. Фактически мы имеем дело с массовым явлением, с распадом некоторого весьма большого числа ядер из совокупности радиоактивных атомов. Чтобы определить искомую вероятность P = λ∆t распада ядра за промежуток времени ∆t необходимо выполнить довольно большое число испытаний, которые заключаются в подсчете числа ядер m₁,m₂,m₃…, распавшихся за равные по величине отрезки времени ∆t₁, ∆t₂, ∆t …. (∆t₁=∆t₂=∆t₃=…=∆t). Тогда среднее значение m

(6)

числа ядер, распавшихся за время t , отнесенное ко всему числу радиоактивных ядер M, дает искомую вероятность Р распада одного ядра за время ∆t.

Вероятность противоположного события, а именно того, что атом не распадается за время ∆t, равна

Вероятность того, что атом не распадается в первый и во второй промежутки времени, равна

(7)

т.к. согласно положению (б) эти два события (нераспад в первый промежуток времени ∆t и нераспад во второй промежуток времени ∆t) являются независимыми, а вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. По индукции вероятность того, что атом не распадается в течении n последовательных отрезков времени ∆t равна

(8)

Если сумму всех последовательных n интервалов времени ∆t обозначить через t, то ∆t = t/n. Тогда полученная вероятность запишется в виде

(9)

Это выражение будет тем точнее, чем больше наблюдений выполнено за время t. В процессе для большого числа получаем

(10)

(это второй замечательный предел математики).

Отсюда получаем окончательное выражение для вероятности того, что атом не распадается за конечное время t :

(11)

Подставляем (11) в (4) получаем (1), что и требовалось доказать.

Таким образом, экспоненциальный закон радиоактивного распада может быть получен как следствие предположений о независимости вероятности распада атома в данный момент от времени жизни атома, а также о независимости распадов отдельных атомов.

Случайные процессы, такие как радиоактивный распад, имеют свою специфику как в плане аналитического описания, так и в плане экспериментального исследования их. В данной лабораторной работе радиоактивный распад рассматривается именно как случайный процесс, включающий большое число событий. Фигурировавшая выше величина λ – постоянная распада – имеет размерность числа распадов в единицу времени. Ввиду случайного характера исследуемого процесса распада в эксперименте, который будет заключаться в измерении числа распадов в фиксированный промежуток времени, мы сможем, однако, каждый раз получать число распадов m = m₁, m₂, m₃… . В общем виде сформулировать задачу об эмпирическом определении λ можно так.

Пусть известно, что вероятность появления события при каком-то испытании есть Р. Какова вероятность появления m событий при n испытаниях? Вероятность какой-либо комбинации m событий есть

(12)

Отдельные атомы между собой неразличимы. Поэтому для определения числа распадов в n испытаниях можно воспользоваться также числом различных размещений m неразличимых объектов в n ячейках:

(13)

Окончательно вероятность появления m событий мы получим перемножением (12) и (13):

(14)

Это так называемое биномиальное распределение вероятностей, так как подобные числа возникают при разложении бинома

Каким образом мы можем сравнивать экспериментальные результаты с теорией? В формуле (14) вероятность P(m) выражена в зависимости от n (n – максимальное возможное значение m) и р (вероятность отдельного события). Среднее число событий . Однако n очень велико. Например, для источника Cs¹³⁷ в 10 мккюри . Для больших n формула (14) выражается в более простой форме, если вновь вспомнить определение основания натуральных логарифмов е:

Таким образом, для малых Р из (14) получаем

(15).

Можно с уверенностью считать, что m<<n, тогда

(16)

Подставляя (16) в (15), получаем

(17)

Распределение вероятностей (17), называемое также распределением Пуассона, не зависит от n. Это распределение имеет вид, подобный представленному на рис.1.

Рис.1 Зависимость числа интервалов N с данным числом частиц от числа частиц m на интервале

СЧЕТЧИК ГЕЙГЕРА-МЮЛЛЕРА (подробнее см. инстр. к лаб. раб. №1).

Счетчик Гейгера-Мюллера (см. рис 2) представляет собой цилиндрический конденсатор, иногда помещаемый в стеклянную трубку, наполненную газом при давлении порядка 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,322 Па). Одним электродом служит металлическая нить, другим – проводящий слой, нанесенный на внутреннюю поверхность трубки.

Д

Рис.2 Счетчик Гейгера-Мюллера

ля частиц с малой энергией применяются “торцевые” счетчики (рис.3). Один конец таких счетчиков закрыт слюдой толщиной в 20-25 мкм. Обращаться с ним нужно осторожно.

Рис. 3 “Торцевой” счетчик Гейгера-Мюллера

В зависимости от диаметров катода и нити, а также от природы газового заполнения счетчики работают при разности потенциалов между электродами от десятков до 2000 В. Поскольку газ в трубке является диэлектриком, при напряжении, недостаточном для его пробоя, и в отсутствие радиоактивного излучения тока в цепи счетчика (рис.4) нет.

Возникающая в процессе радиоактивного распада частица попадает в пространство между электродами счетчика, она вызывает ионизацию атома газа. Образовавшиеся электроны и ионы под действием электрического поля устремляются к электродам. В цепи счетчика возникает кратковременный импульс тока.

Рис. 4 Схема включения счетчика Гейгера-Мюллера

Порядок выполнения работы

1. Включить блок питания счетчика Гейгера-Мюллера ТИП-ВСМ и пересчетный прибор ПП.-15 (в правом нижнем ряду черных кнопок должны быть нажаты 2-я слева и 2-я справа кнопки). После прогрева приборов в течение нескольких минут на пересчетке, при нажатой кнопке «Пуск», можно наблюдать подсчет импульсов регистрации излучения естественного фона. Установить на пересчете время экспозиции 10 с (10¹) – автоматическая остановка счета через 10 с после нажатия кнопки «Пуск».

2. Произвести 100 шт. (при желании можно больше) измерений числа отсчетов импульсов, регистрируемых пересчеткой за указанное время экспозиции, при облучении счетчика естественным фоном. Привести таблицу измерений и график (см. рис. 1) зависимости количества результатов измерений (так называемых интервалов) от числа отсчетов (частиц на интервале).

3. Получить у преподавателя радиоактивный источник и, используя подручные средства, подобрать его расположение и расстояние от счетчика таким образом, чтобы число отсчетов за установленное время экспозиции было примерно в среднем на порядок большим, чем число осчетов при фоновом облучении (достаточно нескольких проб).

4. Произвести 100 шт. измерений числа отсчетов импульсов, регистрируемых пересчеткой за указанное время экспозиции, при облучении счетчика радиоактивным источником. Привести таблицу измерений и график (см. рис. 1) зависимости количества результатов измерений (так называемых интервалов) от числа отсчетов (частиц на интервале).

5. Таким образом, получены два экспериментальных распределения для вероятностных процессов регистрации радиоактивных излучений с «малой» и «большой» (отличающейся на порядок) статистикой.

6. Подтвердить расчетом примерное соответствие полученных экспериментальных распределений распределению Пуассона не менее, чем в 5 разных точках каждого графика (аргументы центра, левого и правого крыла графиков), вычислив N_теор для этих аргументов.

Из формулы Пуассона рассчитать вероятность появления числа отсчетов импульсов m в течение одного интервала времени экспозиции, где

,

где x_i – число отсчетов импульсов за і интервал времени экспозиции, N = 100 – число интервалов измерений; m – число импульсов, вероятность появления которых вычисляется.

Затем рассчитать число интервалов, в которых вероятно появление m отсчетов импульсов, по формуле N_теор(m) = NP_m для выбранных 5 точек каждого графика.

Точки для расчета может указать преподаватель.

Результаты расчетов представить в отчете по работе и занести в таблицу 3.

Таблица 3

Число частиц (отсчетов) m, наблюдаемое в течении времени экспозиции
Число результатов (интервалов) теоретическое Nтеор(m)

При вычислении факториалов чисел рекомендуется пользоваться формулой Стирлинга для факториала , где буква m заменена буквой n.

Для определения числа частиц, импульсы подаются на ламповый усилитель, а от него на пересчетный прибор ПС 02-08. Перед работой с прибором необходимо изучить техническое описание, ознакомиться с конструкцией прибора.

Порядок подготовки прибора к работе следующий:

1. Перед включением прибора в сеть необходимо все кнопки установить в исходное состояние.

2. Включить сетевой шланг в сеть переменного тока напряжением 220 В, частотой 50 Гц.

3. Нажать и зафиксировать кнопку «сеть» и дать прибору прогреться в течении 30 минут; при этом должна загореться сигнальная лампочка и декатроны.

4. Нажать и отпустить кнопку «сброс», при этом показания всех декатронов должны установиться против числа «0».