18.8. Комбінований спосіб керування запасами (стохастичний підхід)

Комбінована модель і у стохастичній постановці сполучає риси двох інших моделей керування запасами. Резервування бездефіцитної роботи, як і у першій моделі, здійснюється на інтервалі T_пост; значення H_тз і H_рез розраховуються по відповідних формулах. Але на відміну від цієї моделі розмір партії поставки міняється залежно від очікуваної інтенсивності споживання ресурсу на інтервалі T_пост. Припускаючи, що ємність складу фіксована на рівні H_скл і його переповнення виключене з імовірністю Р_с, знайдемо величину поточної партії поставки.

Випадкова величина - споживання ресурсу на інтервалі Г_пост— для виключення переповнення складу повинна приймати будь-які значення, що перевищують G_тз + n_тек = H_скл. Тоді

Звідси

Як відзначалося в розділі 18.3, ця модель близька моделі з фіксованою партією поставки. Це підтверджує і наведена вище формула розрахунку n_тек. З неї видно, що величина поточної партії поставки міняється тільки при зміні параметрів розподілу випадкової величини — інтенсивності споживання ресурсу зі складу (М_I, s_I), умов договору з постачальником (T_пост), параметрів керування запасом (H_скд, Р_с, Р₀),тобто досить рідко. У той же час значення n_тек не оптимізується за допомогою моделі EOQ, що різко знижує практичну значимість цього способу керування запасами.

Приклад 18.6

Керування запасом на складі здійснюється комбінованим способом. Відома ємність складу - 64 000 одиниць ресурсу. Інтенсивністьспоживання ресурсу зі складу — величина випадкова, розподілена нормально з параметрами М_I= 2809 од. /дн., s_I = 182 од. /дн. Термін виконання замовлення - 5 днів. Потрібно визначити точку замовлення і величину резервного запасу на складі так, щоб імовірність виникнення дефіциту становила 12%; визначити поточну партію поставки, допускаючи переповнення складу з імовірністю 5, 10 й 30%.

Рішення

Знайдемо ймовірність бездефіцитної роботи як доповнення до заданої ймовірності виникнення дефіциту: Р₀ = 1 - 0,12 = 0,88. Потім по таблицях відшукаємо ((0,88) = ((0,5 +0,38) = +1,175. Тоді

З результатів розрахунку бачимо, що низький рівень сервісу визначив дуже низький рівень резервного запасу. Розрахуємо значення партії поставки, враховуючи, що задані доповнення до ймовірностям непереповнення складу:

Очевидно, що величина партії повинна зростати з ростом імовірності переповнення складу. Розрахунки повністю підтверджують це.

18.9. Багатопродуктова модель керування запасами

У попередніх розділах було зроблене припущення, що кожен ресурс, що зберігається на складі, не залежить від інших і зберігається (витрачається) самостійно, а поповнення запасів всіх ресурсів також виконується незалежно, у тому числі у випадку їхнього виготовлення на підприємстві, що розташовує для цього необхідними виробничими потужностями. Ці допущення дійсно справедливі, якщо не накладають обмеження на розмір капіталу, вкладеного в запаси, на ємність складських приміщень, а також на виробничу потужність підприємства й вантажопідйомність транспортних засобів, використовуваних для доставки ресурсів на склад. Однак у багатьох випадках ці допущення не виконуються, внаслідок чого становить інтерес розгляд економіко-математичної моделі спільного керування запасами багатьох ресурсів.

Припустимо, що перед підприємством виникла проблема зберігання

m(i = 1̅,̅m̅)видів ресурсів так, щоб загальна вартість запасів не перевищувала величини інвестованого в них капіталу К. Якби обмеження на розмір капіталу не накладало, то загальна вартість запасів склала б:

де i — індекс ресурсу;

п — розмір партії поставки;

k - нормувальний множник. Цей множник введений для обліку того факту, що запаси окремих ресурсів можуть надходити (і в дійсності надходять) неодночасно, і може приймати значення від нуля до одиниці. Якщо запаси всіх ресурсів поповнюються одночасно, то в цей час розмір капіталу виявляється максимальним, тобто k= 1.

Вважаючи k = ^l/₂, допускаємо, що запаси поповнюються в різний час і що сума вкладеного капіталу в середньому дорівнює половині максимальної суми. Якщо K₁ ДО, то для визначення розміру партії можна скористатися формулою Уилсона, якщо ж ДО₁> ДО,те необхідно змінити розміри партій так, щоб виконувалося обмеження, що накладає на величину капіталу. Таким чином, маємо умова:

або

Визначимо величину А, у такий спосіб:

(18.1)

Тоді вираз для загальних змінних витрат С набуде вигляду:

де с_i — коефіцієнт, що показує співвідношення витрат на зберігання одиниці ресурсу і його ціни;

( - невизначений множник Лагранжа;

D_i— загальна потреба в i-ресурсі;

S_i — витрати, пов'язані із придбанням i-го ресурсу.

Щоб мінімізувати загальні витрати, продифференцируемо це вираження і дорівняємо похідну нулю. Одержимо рішення у вигляді:

При k= 1/2имеем:

Відзначимо, що згідно (18.1) величина  повинна бути негативної або рівної нулю. Таким чином, внаслідок обмеження, що накладає на розмір капіталу, витрати зберігання запасів icзбільшуються до величини з(i - ) > ic,що і випливало очікувати. Якщо капіталу недостатньо, то наведена процентна ставка виявиться вище, ніж у тому випадку, коли фірма має достатній капітал. Величина  залежить від ступеня обмеження капіталу. Послідовно задаючи значення , знаходимо таке, при якому загальна сума капіталу, вкладеного в запаси, становить величину К. Можна показати, що у випадку, коли обмеження на розмір вкладеного в запаси капіталу не накладаються, витрати зберігання одного ресурсу C_iскладуть:

а витрати зберігання т ресурсів будуть:

Для випадку, коли капітал обмежений, витрати зберігання запасів рівні:

Приклад 18.7

Фірма здобуває три види матеріалів, вихідні дані і розрахункові параметри які представлені в табл. 18.1. Розташовуваний капітал при k= V₂ становить 3600 тис. руб. Відношення річних витрат на зберігання до ціни матеріалу / = 0,20. Потрібно визначити оптимальний розмір замовлення при відсутності і при наявності обмежень на капітал.

Рішення

Розрахуємо оптимальний розмір замовлення при відсутності обмежень на капітал за формулою Уілсона, а середню вартість замовлення А₀ за формулою: А₀ = сn.Результати розрахунку зведені в табл. 18.1. Умова k = ^1/2 доцільно застосовувати у випадку великих запасів при жвавому попиті з невеликими сезонними коливаннями, тому що тут очікуються незначні коливання загального середнього рівня запасів. Якщо по статистиці часто спостерігається одночасна подача замовлень на всі матеріали, то необхідно брати більше значення k.

Таблиця 18.1

Параметри	Найменування матеріалів
	1	2	3
Річний попит, од. Вартість одиниці матеріалу, тис. руб /од Витрати виконання замовлення, тис. руб Розмір партії поставки при відсутності обмеження на капітал, од Середня вартість замовлення, тис руб.	12000 3,00 20,00 890 2670	25000 2,00 20,00 1580 3160	6000 6,00 20,00 445 2670

Знаючи середню вартість замовляє партії, що, можна обчислити середню вартість запасів, як напівсуму вартостей партій, що замовляють. Її величина складе 4250 тис. руб., що перевищує встановлену межу, рівний 3600 тис. руб. Тепер можна розглянути середню вартість запасів, як функцію різних негативних значень . Ці результати зведені в табл. 18.2. З таблиці видно, що при  = -0,08 одержуємо верхню межу вартості запасів за рахунок зменшення розміру замовлення. При цьому значенні відбувається збільшення витрат керування запасами, що еквівалентно появі додаткових витрат внаслідок обмеженого розміру наявного капіталу.

Таблиця 18.2

	A01/2	А02/2	Aоз/2
0,000	1335	1580	1335	4250
-0,060	1175	1390	1175	3740
-0,075	1140	1390	1140	3630
-0,080	1130	1340	1130	3600
-0,085	1120	1330	1120	3570

Примітка. Загальні змінні витрати (мінімальні) становлять 1730 тис. руб. при  = -0,08.

Змінні витрати складуть без обліку обмежень на капітал:

з урахуванням обмеження:

Таким чином, через обмежений розмір наявного капіталу додатково витрачається 30 тис. руб. щорічно. Ці витрати виникають внаслідок того, що розміри замовлень стають менше, і тому замовлення потрібно подавати частіше. У результаті додаткові витрати виконання замовлень перевершують економію за рахунок менших витрат зберігання.