18.5. Особливості стохастичної постановки завдання керування запасами
Стохастичні, або імовірнісні, моделі дозволяють найбільше точно описати ситуації, з якими доводиться зіштовхуватися на практиці, а значить - знайти більш точні рішення виникаючих завдань. Вони базуються на розглянутих раніше трьох підходах до керування запасами, але припускають використання більш складного математичного апарата. Крім того, міняється один з найважливіших принципів, закладених в основу формування моделей: якщо в детермінованих моделях дефіцит ресурсу на складі був повністю виключений, то в стохастичних — його виникнення допускається з деякою ймовірністю. Уводиться новий параметр керування: R0 — імовірність бездефіцитної роботи. Очевидно, що чим більше коштів вкладено в створення резервного запасу на складі, тим ближче його значення до одиниці, тобто тим менше ймовірність виникнення дефіциту — (1 - R0),і навпаки. У всіх трьох типах стохастичних моделей інтенсивність споживання ресурсу зі складу розглядається як величина випадкова, закон розподілу якої, як правило, невідомий. (Для спрощення іноді можна вважати, що це нормальний закон.) Ця основна відмінність такої постановки завдання керування запасами від розглянутих раніше випадків. Зважаючи на те, що стохастична постановка не міняє суті трьох підходів до керування запасами, в подальшому викладі звернемо основну увагу на новизну математичного апарату моделей.
18.6. Керування запасами з фіксованою партією поставки (стохастичних підхід)
Нехай інтенсивність споживання ресурсу — величина випадкова, розподілена нормально з параметрами МI і I, де МI— математичне очікування (середнє значення) і sI - середньоквадратичне відхилення випадкової величини. Договором з постачальником зафіксований термін поставки Tпост і партія поставки nпост, причому розмір партії може бути оптимізований за допомогою моделі EOQ. Нехай менеджером складу встановлений основний для першого способу параметр керування Hтз. Тоді неминуче виникає питання: з якою ймовірністю на складі не виникне дефіциту ресурсу. У вже прийнятих позначеннях потрібно знайти значення Рo.Відправною точкою для подальших міркувань є відома з теорії ймовірностей формула знаходження нормованого відхилення випадкової величини від середнього:
де М*I— очікуване споживання ресурсу за час виконання замовлення (Tпост);
s*I — середньоквадратичне відхилення цієї випадкової величини;
Р0 — імовірність того, що ця випадкова величина прийме будь-яке значення, що не перевищує Hтз;
(Р0) — нормоване відхилення, або квантиль, величина якого для заданого значення ймовірності відшукується по таблицях інтегральної або накопиченої ймовірності.
Із правила підсумовування незалежних випадкових величин треба:
а із центральної граничної теореми теорії ймовірностей треба, що при досить великій кількості членів цієї суми результуюча випадкова величина завжди розподілена нормально незалежно від законів, по яких були розподілені доданки. Виконавши необхідні розрахунки і одержавши значення квантиля, по таблиці варто знайти відповідну йому величину Po. Це ймовірність того, що до моменту одержання чергової партії склад не виявиться порожнім. У закордонній літературі цей параметр одержав назву «імовірність покриття попиту». Для повноти картини можна визначити ймовірність того, що запас не буде вичерпаний уже за день до поставки, або значення P1. Для одержання результату виконаємо наступну послідовність дій:
Цей і подібні розрахунки, виконані для інших термінів, можуть придатися при встановленні оптимального рівня резервного запасу. Відзначимо, що виникнення дефіциту на складі зачепи, за два, за три дні до поставки — залежні випадкові величини, тому P1- це частина Р0, Р2 - частина Р1і т.д. Виходить, для розрахунку Hтз досить знати тільки Р0, і навпаки. Якщо отримане значення Р0 не влаштовує менеджера складу, можна вирішити зворотне завдання: по заданій їм імовірності бездефіцитної роботи знайти точку замовлення. У цьому випадку хід рішення такий:
Звідси
видно, що величина
являє
собою резервний запас, що забезпечує з
імовірністюР0бездефіцитність
роботи складу. Дуже важливе завдання
знаходження його оптимального рівня.
Існуючі методи засновані на тому, що з
ростом Р0збільшуються
витрати на створення і зміст резервного
запасу ресурсу, але знижуються втрати
через його дефіцит. Складність практичного
застосування цих методів полягає в
тому, як оцінювати втрати від дефіциту
ресурсу і витрати на резервування. Різні
підходи до такої оцінки формують різні
алгоритми рішення завдання оптимізації.
Покладемо, точка замовлення встановлена, а в менеджера складу виникло інше запитання: чи поміститься на складі ємністю Н чергова вступник партія ресурсу? Переповнення складу не відбудеться з імовірністю Рс, якщо за термін поставки буде спожито ресурсу більш ніж Hтз + nпост - Hскл (див. мал. 18.6). За аналогією з попередніми міркуваннями запишемо:
де Р з того, що споживання ресурсу за час Tпостне перевищить зазначеної величини. Шукана ймовірність є доповненням до знайденого, тобто Рс = 1 - Р.Тоді остаточно формула прийме вид:
Для рішення зворотнього завдання варто виконати наступні дії:
На закінчення можна задатися третім питанням: що трапиться, якщо термін поставки буде постійно порушуватися і зрештою також виявиться випадковою величиною, розподіленої нормально з параметрами МT й sТ.
В цьому випадку замість значення Тпосту розрахунках використається Мт, а значення s*I визначається зі співвідношення:
З аналізу наведеної моделі можна зробити наступний висновок. Імовірність бездефіцитної роботи складу визначає тільки точку замовлення і величину резервного запасу. Отже, зменшувати партію поставки, а з нею і ємність складу можна, не знижуючи рівня надійності складу. Ця властивість використається при розрахунку оптимальної партії поставки за допомогою моделі EOQ.
Приклад 18.4
Деталі виготовляються в механічному цеху партіями по 160 шт. і надходять у відповідний операційний накопичувач складального конвеєра. Час виготовлення й доставки партії - 4,5 ч. Інтенсивність споживання деталей на зборці - величина випадкова, розподілена нормально з параметрами МI= 22,1 шт. /ч, sI = 3,7 шт. /ч. Потрібно встановити точку замовлення і величину резервного запасу таким чином, щоб імовірність зупинки конвеєра через відсутність у даному накопичувачі деталей становила 1 %. Визначити, з якою ймовірністю може відбутися переповнення накопичувача, якщо його ємність 190 деталей. Якщо ця ймовірність більше припустимих 3%, то варто вказати необхідне збільшення його ємності. Як зміниться рішення завдання, якщо термін поставки виявиться випадковою величиною, нормально розподіленої з параметрами Мт= 4,5ч, sТ = 0,6ч?
Рішення
Для розрахунку точки замовлення треба знати ймовірність бездефіцитної роботи операційного накопичувача, що є доповненням до заданої ймовірності виникнення простою, тобто
Далі по таблиці відшукується квантиль, що відповідає цієї ймовірності. Звичайно, використовуючи властивість симетрії функції накопиченої ймовірності, у довідниках приводять лише половину таблиці значень цієї функції. Для пошуку квантиля потрібно знати, що в таблиці тоді вказується відхилення ймовірності від 0,5, і якщо це відхилення в більшу сторону, те знайдений квантиль має позитивне значення, а якщо в меншу, те негативне. Розрахувавши відповідний квантиль, знаходимо точку замовлення й норму резервного замету:
Для визначення ймовірності переповнення накопичувача спочатку розраховується відповідний квантиль:
Знайдене значення (7,3%) перевищує припустиме (3%), виходить, необхідно знайти нову ємність накопичувача:
Якщо термін поставки величина випадкова, перераховується значення s*I:
а потім із цим новим значенням виконуються всі інші розрахунки:
