4.3.5. Завдання мінімізації витрат на проект

Дотепер ми розглядали мережні моделі комплексів робіт, у яких підлягав контролю лише один параметр - час. Очевидно, що такий підхід істотно збіднює процес керування проектами. Для усунення цього недоліку введемо в розгляд другий параметр - вартість виконання робіт, а на мережі поставимо завдання мінімізації витрат на проект.

Нехай даний граф G (N, А), що представляє собою мережну модель комплексу робіт. Поставимо у відповідність кожній роботі мережі два параметри — тривалість виконання (t_ij) і витрати на виконання (p_ij). Очевидно, що витрати перебувають у зворотній залежності від тривалості, тобто чим раніше треба закінчити роботу, тим більше коштів прийдеться в неї вкласти (оплата праці виконавців, витрати на устаткування й ін.). Ця залежність має складний характер, і для спрощення рішення завдання її варто апроксимувати прямій, графік чого представлений на мал. 4.15.

Рис. 4.15. Залежність витрат на роботу від її тривалості:

b_ij - нормальна тривалість роботи; a_ij - прискорена тривалість роботи; р_b - витрати при нормальній тривалості; р_a - витрати при прискореній тривалості; a_ij  t_ij  b_ij

Кут нахилу прямої (без обліку знака) характеризує інтенсивність наростання витрат, тобто збільшення витрат, необхідне для скорочення тривалості роботи на одиницю: tg  = c_ij = (р_а -рb)/(b_ij - а_ij). Збільшення витрат — величина, зворотна ефективності вкладення коштів у скорочення тривалості роботи: _ij = 1/c_ij. Інакше кажучи, вкладення додаткових коштів найбільше ефективно в роботи, які мають мінімальні значення кутових коефіцієнтів с_ij. Витрати на виконання роботи в загальному випадку визначаються за формулою:

де р₀ — умовна точка перетину прямої витрат з віссю ординат.

Сумарні витрати на виконання всього проекту, які варто мінімізувати, тоді можуть бути визначені в такий спосіб:

де Р₀ - сумарні умовні витрати (константа для даного проекту).

Завдання мінімізації витрат на проект - це оптимізаційне завдання, що ставиться як завдання параметричного лінійного програмування:

Для ряду допустимих значень тривалості критичного шляху як параметра потрібно знайти набори значень змінних /. і t_r, що мінімізують витрати на виконання проекту. Графічно оптимальне рішення має вигляд кривої, що обмежує знизу область допустимих рішень завдання. Це крива витрат на проект (мал. 4.16).

Область допустимих рішень

Крива затрат

на проект

Рис. 4.16. Графічна інтерпретація рішення завдання

Пряма постановка завдання формулюється в такий спосіб: ^у які конкретно роботи потрібно вкласти додаткові кошти ^й наскільки варто скоротити їхню тривалість, щоб проект був завершений у заданий термін, а сумарні вкладення були б при цьому мінімальні. Зворотна постановка завдання зводиться до того, як розподілити між роботами обмежені додаткові інвестиції, щоб досягти максимального скорочення терміну завершення проекту. Рішення й того й іншого завдання можливо методами лінійного програмування, але існує більше швидкий й ефективний алгоритм, що використовує мережну постановку завдання. Це алгоритм Форда—Фалкерсона. Поставлене завдання має тривіальне рішення. Дійсно, для скорочення терміну виконання проекту необхідно вкладати кошти винятково в критичні роботи, попередньо проранжувавши їх у порядку зростання кутових коефіцієнтів (коефіцієнтів наростання витрат). Однак на практиці тривіальні рішення зустрічаються нечасто. І при рішенні цього завдання може трапитися, що в результаті скорочення критичного шляху в мережі з'являться нові другий, третій і т.д. критичні шляхи й використання описаного вище примітивного алгоритму виявиться надзвичайно скрутним. Саме на такі складні випадки розрахований алгоритм Форда-Фалкерсона.

Контрольні питання й завдання

1. Дайте визначення поняття «інноваційний проект».

2. За якими ознаками класифікуються інноваційні проекти?

3. Перелічіть склад і зміст основних етапів розробки інноваційного проекту.

4. Які методи використовуються для календарного планування робіт із проекту?

5. У чому складається порядок сіткового планування проекту?

6. Назвіть основні елементи сіткового графіка.

7. Перелічіть параметри робіт і подій сіткового графіка й назвіть методи їхнього розрахунку.

8. У чому складається розходження системи PERT і методу PERT/Costl

9. Опишіть зміст і завдання систем планування й керування проектами GERT, CPM/MRP.

10. Назвіть основних учасників проектів і форми координації їхньої діяльності в керуванні проектами.

11. На мал. 4.17 показана мережна модель проекту, значення тривалості виконання робіт якого випадкові величини, задані трьохоціночним способом у табл. 4.6. Потрібно виконати розрахунок тимчасових характеристик проекту методом PERTH визначити, на який термін буде завершений проект із імовірністю: а) 35%; б) 50%; в) 84%; г) 96,5%; яка ймовірність завершення проекту до термінів: а) 80,5 дня; б) 79 днів; в) 83,5 дня.

Таблиця 4.6

Код роботи	Оцінка тривалості роботи, днів			Код роботи	Оцінка тривалості роботи, днів
	aij	mij	bij		aij	mij	bij
1-2	1	2	6	7-9	3	5	7
1-4	1	2	3	9-11	10	18	920
2-3	8	10	12	10-12	4	6	10
2-5	3	4	9	11-12	6	8	4
4-6	4	5	8	11-14	2	3	23
4-7	4	5	8	11-15	19	21	9
5-6	1	2	5	12-13	3	5	3
6-8	4	7	9	12-14	1	2	9
6-9	15	21	24	13-14	5	6	12
6-10	6	10	14	14-15	8	10

8

3

13

10

12

6

1

2

5

14

9

11

4

7

15

Рис. 4.17. Вихідна мережна модель для розрахунків