4.3.4. Аналіз імовірності завершення проекту в термін

На практиці при формуванні первинних мережних моделей буває складно дати точну оцінку тривалості виконання окремих робіт. Особливо якщо це роботи творчі по змісту (наприклад, дослідницькі, конструкторські й ін.). Тоді використається другий підхід до розрахунку тимчасових характеристик проекту: тривалості робіт вважаються випадковими величинами й задаються за допомогою системи оцінок.

В 1958 р. був розроблений і вперше застосований новий метод мережного аналізу — метод PERT (program evaluation and review technique), або метод оцінки й перегляду програм. Метод використовує статистичні дані для кількісної оцінки невизначеності, що може зустрітися при виконанні фізичних, а особливо - розумових робіт. Він досить ефективний там, де дотепер не було основи для встановлення норм часу, необхідних для виконання кожної з таких робіт.

Нагадаємо, що для завдання випадкової величини, як правило, досить указати: 1) закон її розподілу; 2) математичне очікування; 3) дисперсію. Однозначного рішення щодо закону розподілу тривалостей робіт немає. Учені схиляються до двох варіантів, яким відповідають два підходи:

1. Якщо тривалість робіт уважати такою, що підпорядковується нормальному закону розподілу, то варто використати двохоціночну систему, у якій для кожної роботи задаються оптимістична оцінка тривалості (а) і її песимістична оцінка (b_ij). Причому a_ij  t_ij  b_ij.

При цьому розраховується математичне очікування тривалості роботи (t̅_ij):

а також дисперсія тривалості (²_ij):

2. Якщо тривалість робіт уважати такою, що підпорядковується закону -розподілу, то варто використати трьохоціночну систему, у якій додатково задається т — медіана, а розрахунки виконуються трохи інакше:

Далі можуть бути розраховані всі тимчасові характеристики проекту за допомогою вже відомих алгоритмів (див. підрозділ 4.3.3).

Оскільки в алгоритмах використовуються тільки дії додавання віднімання й застосовуються вони до математичних очікувань тривалості робіт, то й результат будь-якого розрахунку також буде являти собою математичне очікування випадкової величини. Її дисперсія буде дорівнює сумі дисперсій робіт, які брали участь у розрахунку. Визначені в такий спосіб параметри проекту в силу центральної граничної теореми теорії імовірності розподілені за нормальним законом. Все сказане справедливо лише для досить великих проектів, де при розрахунках параметрів підсумовується більше десятка випадкових величин—тривалостей робіт. Стохастична постановка керування проектами дозволяє вирішити два специфічні завдання: 1) визначити, з якою ймовірністю проект буде завершений у плановий термін; 2) розрахувати, на який термін проект може бути завершений із заданою ймовірністю. Для рішення обох завдань використовується -нормоване відхилення випадкової величини, розподіленої нормально, або квантиль. Якщо задано плановий термін T_пл, то виконується розрахунок:

де Т — математичне очікування довжини критичного шляху;

²_кр — дисперсія критичного шляху, розрахована як сума дисперсій

робіт, що лежать на критичному шляху,/

Потім по таблиці накопиченої (інтегральної) імовірності для нормального закону розподілу відшукується значення шуканої ймовірності. Якщо задано необхідну ймовірність завершення проекту р₀, то по тій же таблиці для неї визначається значення квантиля й виконується розрахунок очікуваного терміну за формулою:

Приклад 4.2

Нехай задана імовірнісна мережна модель проекту, топологія якої показана на мал. 4.14, а оцінки тривалості робіт зведені в табл. 4.4. Потрібно визначити, з якою ймовірністю проект буде завершений до наступних термінів: а) Т_пл = 160 дн.; б) Т_пл = 159 дн.; в) Т_пл = 155 дн.; а також на який термін завершиться проект із наступними ймовірностями: а) р₀ = 0,8; 6) р₀ = 0,5; в) р₀ = 0,1.

У табл. 4.5 показані також результати розрахунку математичних очікувань і дисперсій тривалості всіх робіт мережі. Виділено дисперсії робіт критичного шляху, у сумі складові ²_кр = 8,44. Розрахунок ранніх термінів подій, у тому числі тривалості критичного шляху, знаходження послідовності робіт критичного шляху виконані за допомогою методу Форда (табл. 4.5).

1

3

8

14

16

5

17

18

7

4

11

2

9

15

6

13

12

10

Рис. 4.14. Вихідна мережна модель проекту для стохастичного розрахунку

Таблиця 4.4

Код роботи	Оцінки тривалості роботи				tij		2ij		Код роботи		Оцінки тривалості роботи				tij		2ij
	aij	mij	bij	aij							mij	bij
1-2	19	22	25	22,00		1,00		8-14		17		18	20	18,17		0,25
1-3	7	8	9	8,00		0,11		9-11		0		0	0	0		0
1-6	1	2	3	2,00		0,11		9-12		0		0	0	0		0
2-3	0	0	0	0		0		9-13		11		13	14	12,83		0,25
3-4	15	17	19	17,00		0,44		10-12		0		0	0	0		0
3-5	11	12	14	12,17		0,25		11-15		6		7	8	7,00		0,11
4-5	0	0	0	0		0		12-13		24		27	30	26,30		1.00
5-7	16	20	25	20,17		2,25		13-15		18		20	23	20,17		0,69
5-8	1	2	3	2,00		0,11		14-15		5		9	12	8,83		1,36
6-9	2	3	4	3,00		0,11		14-16		10		11	13	11,17		0,25
6-10	2	3	4	3,00		0,11		15-17		14		18	20	17,67		1,00
6-12	2	3	4	3,00		0,11		16-17		1		6	9	5,67		1,78
7-9	22	26	29	25,83		1,36		17-18		8		10	13	10,17		0,69
7-11	4	5	6	5,00		0,11

Розрахуємо значення квантиля для трьох варіантів прямого завдання й знайдемо по них імовірності, використовуючи таблицю значень функції накопиченної імовірності:

а)

Таблиця 4.5

	Події
Ранні терміни	1	2	3	4	5	6	7 59,17	8	9
	0	22	8 22	39	34,17 39	2		41	85 5
	0	22	22	39	39	2	59,17	41	85

Закінчення табл. 4.5

			Події
	10	11	12	13	14	15	16	, 17		18
Ранні терміни	5	85 64,17	85 5 5	97,83 111,33	59,17	68 92 131,5	70,33	76 149,17		159,33
	5	85	85	1 1 1 ,33	59,17	131,5	70,33	149,17		159,33

б)

в)

Тепер використовуючи ту ж таблицю, відшукаємо квантилі за заданим значенням імовірності й на їхній основі розрахуємо очікувані терміни завершення проекту:

а)

б)

в)

Логічно було б припускати, що ймовірність завершення проекту на термін, що перевищує математичне очікування Т_кр, виявиться більше 50%, на термін менший ніж математичне очікування Т_кр, - менше 50%, а ^з імовірністю 50% проект завершиться саме на цей термін. Розрахунки повністю підтверджують логіку наших міркувань.