4.3.3. Розрахунок тимчасових характеристик проекту

Основними завданнями мережного аналізу є календарне планування й оперативний контроль термінів початку й завершення виконання окремих робіт й етапів проекту з використанням його мережної моделі. Для цього попередньо виконується розрахунок двох груп тимчасових характеристик проекту - параметрів здійснення подій і параметрів виконання робіт. До першої групи відносяться: 1) ранні терміни здійснення подій; 2) пізні терміни здійснення подій; 3) резерви подій; 4) тривалість критичного шляху. До другої групи відносяться: ранні терміни початку й закінчення робіт; 2) пізні терміни початку й закінчення робіт; 3) резерви робіт (повний резерв, вільний резерв, приватний резерв першого роду, приватний резерв другого роду.

Існують два підходи до розрахунку тимчасових характеристик, при яких тривалості робіт вважаються: а) строго детермінованими величинами; б) випадковими величинами. Розгляд методів СПУ почнемо з першого підходу, як більш простого в розумінні й застосуванні. Він був розроблений і вперше використаний на початку 1950-х рр., що визначило якісний стрибок у розвитку теорії й практики менеджменту проектів. В усьому світі цей підхід відомий як метод критичного шляху (criticalpath method, CPM).

Ранній термін здійснення події — це найбільш ранній час здійснення даної події відносно початку виконання комплексу робіт. Ранній термін здійснення події (t_pj) чисельно дорівнює тривалості максимального зі шляхів від початкової події мережної моделі до даної події. Відзначимо, що в реальній великій мережі число шляхів від її початку до будь-якої події, розташованого ближче до кінця, може бути й дуже великим. Тому прямо використати наведене вище визначення для розрахунку ранніх термінів подій не представляється можливим. Для цього використається спеціальний алгоритм, називаний алгоритмом Форда, що істотно скорочує обсяг проведених обчислень: 1) для початкової події мережі завжди t_p1 = 0; 2) для кожного наступної події один по одному вибирається максимум по всіх його предках t_pj = max{t_pi + t_ij}. Результати розрахунків зводяться в таблицю, форма якої представлена нижче (табл. 4.2). Число записів (t_pi + t_ij) у стовпці таблиці дорівнює числу предків у даної події; максимальне значення або виділяється й використається для розрахунків ранніх термінів наступних подій.

По визначенню ранній термін завершальної події мережі дорівнює тривалості максимального повного шляху даної мережі, тобто максимального шляху, що зв'язує початкове й кінцеве події. Такий шлях називається критичним. Саме цей шлях (послідовність робіт) визначає термін завершення проекту. Саме на роботи критичного шляху керівники проекту в цілому, напрямків, тим і т.д. повинні звертати основну увагу щоб уникнути зриву термінів виконання проекту, або бажаючи прискорити його завершення. Таким чином, алгоритм Форда дозволяє знайти тривалість критичного шляху Т_кр, однак він не дає відповіді на питання, яка послідовність робіт є критичною. Робота належить критичному шляху, якщо виконується умова: t_pj - t_pi = t_ij, причому перевірка починається із завершальної події і йде до початку мережі. Якщо перевіряти цю умову навпаки від початкової події, то їй буде задовольняти безліч робіт, що становлять підграф-дерево максимальних шляхів від початкової події до всіх подій мережі. І тільки одна галузь цього дерева буде повною, тобто буде критичним шляхом. Перевірка умови від завершальної події до початку відтинає всі зайві галузі й істотно скорочує обсяг обчислень. У мережі можливе існування декількох критичних шляхів, що мають максимальну й рівну тривалість.

Пізнім терміном здійснення події (t_пi) називається граничне стосовно початку виконання комплексу робіт час здійснення даної події, що не впливає на термін завершення проекту. Пізній термін здійснення події чисельно дорівнює різниці між довжиною критичного шляху Т и тривалістю максимального зі шляхів від даної події до завершальні _i:

Значення m_i можуть бути знайдені за допомогою алгоритму Форда, виконаного у зворотну сторону, тобто від завершальної події до початкового проти напрямку стрілок. Тоді m_i = max{m_i + t_ij} (максимум відшукується по всіх нащадках j події i) і

=

але тому що t_пi = T_кр - m_j, можна записати t_пi = min{t_пj - t_ij}. Розрахунки пізніх термінів виконуються в тій же таблиці, що й ранніх, за аналогічними правилами (табл. 4.2). На підставі перевірки виконання умови t_пj - t_пi = t_ij може бути побудоване дерево максимальних шляхів від кожної події мережі до завершальної (при перевірці від кінця до початку) або відразу ж виділений критичний шлях (при перевірці від початкової події до кінцевої).

Резерв події показує тривалість інтервалу часу, протягом якого може статися дана подія. Резерв подій R. визначається за формулою:

Ранні й пізні терміни початку й закінчення робіт. Дотепер мова йшла тільки про терміни здійснення подій. Однак виконавці проекту орієнтуються на виконання робіт. Тому для їхньої зручності вводиться (розраховується) ще одна група тимчасових характеристик проекту, прив'язаних до робіт, а саме:

ранній початок роботи,

раннє закінчення роботи,

пізніше закінчення роботи

пізніший початок роботи,

Резерви робіт. Велике значення для менеджера проекту має знання резервів, якими розташовують окремі роботи. Існують чотири види резервів робіт - повний, вільний і дві частки; причому аналіз кожного з них має для менеджера свій зміст:

повний резерв роботи,

вільний резерв роботи,

приватний резерв 1-го роду,

приватний резерв 2-го роду,

Повний резерв — це максимальний резерв роботи. Він утвориться, якщо подія-предок здійснюється в ранній термін, а подія-нащадок - у пізній. Якщо робота використає повний резерв, то в мережі з'являється новий критичний шлях, що проходить через неї, і, отже, всі роботи, що лежать на цьому шляху, повністю втрачають резерв. Частково при цьому втрачають резерв і роботи, пов'язані із цим шляхом, тобто такі роботи, у яких тільки предок або нащадок лежать на цьому шляху.

Вільний (незалежний) резерв — це мінімальний резерв роботи. Оскільки інтервал між t_pi й t_пi не може бути зменшений, робота тільки сама має у своєму розпорядженні вільний резерв. Ніякі інші роботи скористатися ним не можуть. Вільний резерв виникає у робіт досить рідко й тільки в тих випадках, коли між подіями — предком і нащадком даної роботи існує інший «обхідний» шлях більшої тривалості, ніж тривалість самої роботи. Вільний резерв — це єдиний резерв, що з розрахунку може виявитися негативним. Але оскільки це не має змісту, резерв у такому випадку приймається рівним нулю. Приватний резерв 1-го роду дорівнює нулю на галузях підграфа-дерева максимальних шляхів від кожної події мережі до завершальної. Дійсно, для робіт, що належать цьому дереву, виконується умова t_пj - t_пi = t_ij, або, що те ж саме, t_пj - t_пi - t_ij = 0. Отже, приватний резерв 1-го роду утвориться в роботах, що не входять у це дерево. Якщо робота використає даний резерв, то вона частково або повністю позбавить резервів інші роботи, що слідують за нею.

Приватний резерв 2-го роду утвориться у робіт, що не лежать на дереві максимальних шляхів від початкового до кожної події мережі. Якщо робота використає даний резерв, то це вплине на резерви попередніх робіт, але не вплине на резерви наступних. Результати розрахунків всіх параметрів робіт зводяться в таблицю (табл. 4.3).

Приклад 4.1

Нехай задана мережна модель проекту (мал. 4.13). Тривалість робіт зазначена на моделі біля кожної з них. Потрібно розрахувати всі тимчасові характеристики проекту, указати, як проходить критичний шлях.

Результати розрахунків ранніх і пізніх термінів здійснення подій методом Форда зведені в табл. 4.2. Причому розрахунок пізніх термінів виконаний двома методами - через проміжні величини і без них. Обидва розрахунки мають однакову чинність, тому користуватися можна кожним з них. Нагадаємо, що ранні терміни представлені в таблиці ліворуч праворуч, а значення ц і пізні терміни - праворуч ліворуч. У таблицю також включений розрахунок резервів подій.

1 9

1

6

3

6 4 1 8 7

2

2

5

8

1 2

5

4

7

Рис. 4.13. Мережна модель проекту

Таблиця 4.2

Параметри	Події
	1	2	3	4	5	6	7	В
Ранні терміни здійснення подій	0	6	1 6	8	10	15 11	11 13	22 18 15
	0	6	6	8	10	15	13	22
Проміжні величини ц.	22 17	16	9 12 16	7	8 8 3	7	2	0
	22	16	16	7	8	7	2	0
Пізні терміни здійснення подій	0 5	6	13 10 6	15	14 19 14	15	20	22
	0	6	6	15	14	15	20	22
Резерви подій	0	0	0	7	4	0	7	0

Події на критичному шляху завжди мають нульовий резерв. Однак користуватися цією властивістю для пошуку послідовності критичних робіт треба обережно. Наприклад, для нашої мережі, використовуючи його, не можна відповістити на запитання, чи єдиний критичний шлях, що проходить по роботах 1—2, 2—3 і далі, або є другий — через роботу 1—3.

Відшукаємо критичний шлях, слідуючи наведеному раніше алгоритму. Почнемо із завершальної події:

Це означає, що робота 6 - 8 є критичною й продовжувати перевірку треба для події 6:

Робота 3 - 6 також критична, і перевірку продовжимо для події 3:

Фіктивна робота 2—3 також належить критичному шляху, і перевірку завершимо роботою 1—2:

Таким чином, критичний шлях включає роботи 1-2, 2-3, 3-6 й 6-8. Результати розрахунків раннього й пізнього початку й закінчення робіт, а також всіх чотирьох резервів робіт наведені в табл. 4.3.

Таблиця 4.3

Робота, ij	tij	Початок і закінчення робіт					Резерви робіт
		thн	tpo	tpн	tпо	RПij		RНij	Rч1ij	Rч2ij
1 -2	6	0	6	0	6	0		0	0	0
1 - 3	1	0	1	5	6	5		5	5	5
2 - 3	0	6	6	6	0	0		0	0	0
3 - 4	2	6	8	13	15	7		0	7	0
3 - 5	4	6	10	10	14	4		0	4	0
3 - 6	9	6	15	6	15	0		0	0	0
4 - 7	5	8	13	15	20	7		0(-7)	0	0
5 - 6	1	10	11	14	15	4		0	0	4
5 - 7	1	10	11	19	20	9		0(-2)	5	2
5 - 8	8	10	18	14	22	4		0	0	4
6 - 8		15	22	15	22	0		0	0	0
7 - 8	2	13	15	20	22	7		0	0	7