2. Поняття вектора, лінійні операції над векторами.

Розглянемо в просторі (на площині) множину всіх направлених відрізків. В цій множині можна по-різному ввести означення рівності напрямленнях відрізків і отримати три поняття вектора.

Означення 1. Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:

1. вони колінеарні (знаходяться на одній або паралельних прямих);

2. мають однаковий напрямок;

3. мають однакові довжини.

Означення 2. Вільним вектором називається множина всіх рівних між собою в сенсі означення 1 напрямлених відрізків.

Введемо іншим чином означення рівності.

Означення 1^'. Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:

1. вони колінеарні;

2. мають однаковий напрямок;

3. знаходяться на одній прямій;

4. мають однакові довжини.

Означення 2^'. Ковзним вектором називається множина всіх рівних між собоюусенсі означення1^'напрямлених відрізків.

Означення 1^''.Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо :

1. в них рівні довжини;

2. знаходяться на одній прямій;

3. однаково направлені і мають спільний початок.

Означення 2^''. Зв'язаним вектором називається множина рівних між собою в сенсі означення 1^'' напрямлених відрізків.

З останнього означення випливає, що зв'язаний вектор дорівнює лише собі. В даному курсі розглядатимемо лише вільні вектори.

Над векторами вводяться дві основні лінійні операції :

1. додавання векторів;

2. множення векторана число.

Означення 3. Сумою двох векторіві , називається вектор, що умовно позначається, початок якого знаходиться в початку вектора, кінець – у кінці вектора, за умови, що початок векторазнаходиться в кінці вектора.

Означення 4. Добутком вектора а на число к називається вектор, що умовно позначається і має такі властивості:

1. 

2. , якщо , і , якщо

3. не має певного напрямку, якщо .

Властивості лінійних операцій (довести самостійно).

1. –комутативність додавання.

2. –асоціативність додавання.

3. Існує так званий нульовий вектор , тобто такий, для якого

для довільного вектора .

Зрозуміло, що початок і кінець нульового вектора збігаються, тобто він має нульову довжину, а напрямок цього вектора невизначений.

4. Для будь-якого вектора існує так званий протилежний вектор , тобто такий, що .

Вектори та мають протилежні напрямки та однакові довжини.

5. для довільного вектора .

6. –асоціативність множення на число.

7. – дистрибутивність.

8. – дистрибутивність.

3. Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.

Означення. Лінійною комбінацією векторівназивається вектордеp_i- будь-які числа.

Означення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо принаймні один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.

Інакше кажучи, .

Означення 2. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують числа , серед яких принаймні одне , що виконується рівність:

.

Теорема. При перше і друге означення лінійнозалежної системи еквівалентні.

Доведення.

Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.

Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):

.

Додамо до обох частин даної рівності вектор протилежний до :

Внаслідок комутативності і означення нульового вектора маємо:

Тобто , що виконується і рівність ісистема лінійно залежна за означенням 2.

Нехай тепер система векторів лінійно залежна за означенням 2:

().

Треба довести, що .

Додамо вектор до лівої та правої частини даної рівності:

Відомо, що , тоді помноживши обидві частини рівності на маємо:

Тобто система є лінійно залежною за означенням 1.

Теорему доведено.

Зауваження. При , означення 1 лінійної залежності втрачає сенс, тоді як за означенням 2 рівність при стає, тобто . Маємо, що система з одного вектора лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульовий.

Теорема. Якщоусистемі векторів є лінійно залежна підсистема, то і вся система лінійно залежна.

Доведення.

Нехай задана система . Візьмемо її підсистему. Не зменшуючи загальності міркувань вважатимемо, що підсистема – лінійно залежна. Тоді :.

Запишемо рівність в такому виді:

Тодітакі, що .

Система лінійно залежна за означенням 2.

Теорему доведено.

Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .

З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно незалежна, то всі її підсистеми також лінійно незалежні.