2. Матриці обернені до даних. Умови їх існування.

Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову.

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову.

Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.

Означення. Квадратна матриця називається невиродженою , якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.

Теорема 1. Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.

Доведення. Нехай задана матриця А, detA= 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:

det E = det . det A ,

1 = 0, отримали суперечність.

Таким чином, не існує , так само доводиться, що не існує.

Теорему доведено.

Теорема 2. Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні .

Доведення. Нехай задано матрицю А.

,

причому detA=d 0 .

Треба довести, що існує ліва обернена , права обернена матриці, та =. З матриці А побудуємо матрицю, заміною кожного елементаa_ij його алгебраїчним доповненнямА_ijі протранспонувавши отримаємо матрицю:

= .

Доведемо, що задовольняє дві умови:

1. А = Е ;

2. А = Е .

Доведемо

1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:

А  ==

= .

Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.

З першого пункта випливає =, а з другого пункту=.

.

Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:

= .

Вправа. Довести єдиність матриці (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).

3. Операції додавання і множення на число.

Означення. Сумою матриць А і В , А=() , В=() , називається матрицяD, елементи якої обчислюються за законом

D= (+).

Означення. Добутком матриці А на число k, називається матриця F, елементи якої обчислюються за законом

F= (k).

Введені операції мають такі властивості :

1. А + В = В + А ;

2. (А + В)+С = А+(В + С) ;

3.   : А +  = А +  + А ;

 = .

4)  А  (-А) : А + (-А) = (-А) + А = 0.

Вона і снує , тому що є (-А) = (-) .

5) А = А ;

6. k (l A) = (k l) A ;

7. k (A + B) = kA + kB ;

8. (k + l) A = kA + lA :

Перевірити самостійно.

Таким чином, множина всіх матриць є векторним простором, більш того, арифметичним, вимірності .

Розглянемо хоча б один базіс цього простору. Це так звані матриці .

= .

Таких матриць існуєn².

,, … ,,

, , … ,

Доведемо, що це базис. Доведемо, що це лінійно незалежні матриці. Для цього з’ясуємо, при яких k_ij виконується рівність

_(*)

= 0 .

, .

Отже рівність (*) виконується лише в нульовому випадку усіх k_ij, тому матриці лінійно залежні.

З того, що вимерність простору матриць дорівнює , випливає, що матриціутворюють базіс. Тоді будь-яка матриця А повинна бути лінійною комбінацією матриць. Знайдемо цю лінійну комбнацію.

Розглянемо довільну матрицю А. Доведемо, що

А = .

Введемо в розгляд допоміжну матрицю:

.

Доведемо, що цю матрицю можна подати у вигляді .

Насправді

Розглянемо тепер матрицю А. Її можна подати у вигляді

Застосуємо до кожного доданку попередню формулу

Вправа.Довести, що операція множення матриць і додавання матриць підпорядковується дистрибутивному закону :

А (В + С) = АВ + ВС .

Доведення.

Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд

С = .

Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.

Достатність.Нехай деяка матриця С загального вигляду

С = ,

комутує з будь-якою матрицею А . Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто ,, якщоi j .

З того, що для будь-якої матриці А, випливає.

(1)

.

(2)

Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.

0 = , 0 =, … ,, 0 =,j = 1,2,…n.

Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.