01 Л Матрицы

Э Л Е М Е Н Т Ы Л И Н Е Й Н О Й А Л Г Е Б Р Ы

М а т р и ц ы и о п е р а ц и и н а д н и м и

М а т р и ц е й называется система m n чисел, расположенных в прямо-

угольной таблице из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются

э л е м е н т а м и м а т р и ц ы .

их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки, называется м а т р и ц е й -

с т р о к о й .

строк равно числу столбцов, т.е. матрица вида

(или столбцов).

Элементы a11 , a22 , …, ann квадратной матрицы образуют её главную диа-

гональ, а элементы a1n , a2,n 1 , …, an1 образуют вторую (побочную) диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне глав-

ной диагонали, равны нулю, называется д и а г о н а л ь н о й и имеет вид:

Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диа-

гонали, равны 1, называется е д и н и ч н о й и имеет вид:

Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется в е р х н е й т р е у г о л ь н о й матрицей. Она имеет вид

Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные выше глав-

ной диагонали, равны нулю, называется н и ж н е й т р е у г о л ь н о й м а т р и ц е й . Эта матрица имеет вид:

Симметричной матрицей называется квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, рав-

ны между собой. Для симметричной матрицы имеет место равенство ai j a j i .

Пример квадратной симметричной матрицы:

Если в матрице провести горизонтальные и вертикальные "перегородки",

то матрица окажется разбитой на прямоугольные или квадратные клетки, или блоки. Такая матрица называется б л о ч н о й . Например,

Элементы в каждом блоке образуют следующие матрицы:

Л и н е й н ы е о п е р а ц и и н а д м а т р и ц а м и

Линейными операциями над матрицами называются сложение и вычита-

ние матриц, умножение матрицы на число. Сложение и вычитание определяют-

ся только для матриц одинаковых размеров.

mn

ченная из данной матрицы A умножением всех её элементов на число .

С в о й с т в а л и н е й н ы х о п е р а ц и й н а д м а т р и ц а м и

Сложение матриц одинакового размера:

1)коммутативно: A B B A;

2)ассоциативно: A B C A B C .

3)Для любой матрицы A выполняется равенство: A O A, где O ну-

левая матрица.

4) Для любой матрицы A существует такая единственная матрица B , для

которой выполняется равенство: A B O , где O нулевая матрица. Матрица

Bназывается противоположной матрице A . B A.

5)Умножение матрицы на число ассоциативно: A A , где ,

числа.

6)Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы действительных чисел: A A A , где , числа.

7)Умножение матрицы на число дистрибутивно относительно суммы матриц: Α Β A B .

8)Умножение матрицы на единицу не меняет её: 1 A A 1 A.

Очевидно, что в результате умножения матрицы на число ноль получает-

ся нулевая матрица 0 A A 0 O .

Если в матрице A поменять местами строки и столбцы, то получится но-

вая матрица AT , которая по сравнению с матрицей A называется транспониро-

ванной.

С в о й с т в а о п е р а ц и и т р а н с п о н и р о в а н и я

1.AT T A.

2.A B T AT BT .

3.A T AT .