03 Л Определители

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса (или треугольников), которое символически можно представить так:

Определителем квадратной матрицы n го порядка называется алгебраическая сумма n ! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причём член берётся со знаком плюс, если его индексы составляют чётную сумму, и со знаком минус в противоположном случае.

С в о й с т в а о п р е д е л и т е л е й

1.Определитель не меняется при транспонировании.

2.Если одна из строк (или один из столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3.При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.

4.Определитель, содержащий две одинаковые строки (или два одинаковых столб-

ца), равен нулю.

5.Если все элементы одной из строк (или одного из столбцов) умножить на некоторое число k , то сам определитель умножиться на k .

6.Множитель, общий для всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца), можно вынести за знак определителя.

7.Определитель, содержащий две пропорциональные строки (или два пропорциональных столбца), равен нулю.

8.Если все элементы i -ой строки (или j -го столбца) определителя n -го порядка

представлены в виде суммы двух слагаемых: ai j bk ck , k 1, n , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме i -ой ( j -ого), такие же, как и в заданном определителе, а i -ая строка ( j -й столбец) в одном из слагаемых состоит из элементов bk , а в другом из элементов ck .

9.Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк (или одного из его столбца) прибавляются соответственные элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

10.Множитель, общий для всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца), можно вынести за знак определителя.

М и н о р ы и и х а л г е б р а и ч е с к и е д о п о л н е н и я

Минором элемента ai j определителя

из исходного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, которым принадлежит данный элемент.

a1 j A1 j a2 j A2 j ... an j An j , т.е определитель равен сумме произведений всех элемен-

тов произвольного столбца на их алгебраические дополнения.

Таким образом, вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению нескольких определителей n 1 -го порядка.

Если все элементы определителя, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то этот определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Р е ш е н и е . Из первой строки вычтем вторую, умноженную на два. Полученный определитель разложим по элементам первой строки:

Далее, из первой строки вычтем вторую строку, и полученный определитель разложим по элементам первой строки:

ные свойства.

Р е ш е н и е . Получим нули во второй строке, производя действия со столбцами. К первому столбцу прибавим второй, умноженный на два I I II 2 :

Второй столбец оставим без изменения II II .

К третьему столбцу прибавим второй, умноженный на два:

К четвертому столбцу прибавим второй, умноженный на три: