Формула литтла
Рассмотрим вывод формулы Литтла, связывающей (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок Lсист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе Wсист.
Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее, так как оба потока имеют одну в ту же интенсивность .
Обозначим: X(t)—число заявок, прибывших в СМО до момента t, Y(t) — число заявок, покинувших СМО до момента t. И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X(t)) и уходов заявок (Y(t)). Для любого момента t их разность Z(t) = X(t) - Y(t) — это число заявок, находящихся в СМО.
Рассмотрим очень большой промежуток времени T и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t)на этом промежутке, деленному на длину интервала T:
(2)
Данный интеграл представляет собой площадь фигуры, заключенной между X(t) и Y(t). Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена как t1, t2,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в эту фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т этим можно пренебречь. Таким образом, можно считать, что
, (3)
где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.
Разделим правую и левую часть (3) на длину интервала Т. Получим, с учетом (2):
(4)
Разделим и умножим правую часть (4) на интенсивность :
(5)
Величина T — это среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен ti на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе Wсист .
Итак,
(6)
Это и есть формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.
Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди Wоч и среднее число заявок в очереди Lоч.
СХЕМА РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ
Процесс размножения и гибели — это случайный процесс со счетным (конечным или бесконечным) множеством состояний, протекающий в дискретном или непрерывном времени. Он состоит в том, что некоторая система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое, причем переходы между состояниями происходят скачком, когда наступают некоторые события. Как правило, эти события бывают двух типов: одно из них условно называют рождением некоторого объекта, а второе — гибелью этого объекта.
С помощью процессов размножения и гибели составляются математические модели управления различными процессами, а также модели многих явлений в биологии, физике и других областях. Так, с помощью этой теории могут быть изучены процессы возникновения случайных мутаций, процессы сохранения и распространения мутационного гена, размножение и отмирание живых организмов, случайные блуждания частиц, описание радиоактивных превращений, обслуживание абонентов телефонной станции, организация ремонта работающего оборудования, вырождение и выживание популяций организмов. Термин "схема размножения и гибели" заимствован из биологических задач, где состояние популяции определяется числом живых объектов. Представление о характере возникающих задач могут дать следующие примеры.
1. В цепной ядерной реакции при столкновении нейтрона с атомным ядром происходит расщепление ядра. В результате появляются различные частицы, в том числе и случайное число новых нейтронов. Поведение потомства нейтронов во времени в зависимости от условий может быть различным: оно может неограниченно возрастать (что ведет к ядерному взрыву), находиться в фиксированных пределах (управляемая ядерная реакция) или быть равным нулю (реакции нет). Таким образом, характер реакции зависит от рождений и гибели нейтронов.
2. В морской порт прибывают суда со случайными отклонениями от графика. Их разгрузка-погрузка также производится с некоторыми отклонениями от графика. Прибытие судна является рождением объекта, а завершение разгрузочно-погрузочных работ – гибелью объекта. Очевидно, что математическая модель этого процесса позволит рационально распорядиться площадками и оборудованием порта.
3. В техническом устройстве (или системе) в случайные моменты времени появляются отказы, в результате чего ухудшается или теряется его работоспособность. После появления (рождения) отказа происходят его поиск и устранение (ремонт), в результате чего отказ гибнет. Как рождение, так и гибель отказа происходят в случайный момент времени. На основе математической модели этого процесса организуются ремонтно-восстановительные работы, и обосновывается необходимый резерв оборудования.
Перейдем к формальному описанию процесса размножения и гибели в непрерывном времени. Будем полагать, что в каждый момент времени может произойти рождение или гибель только одного объекта. Число объектов в системе может быть конечным или бесконечным. Математическая модель не зависит от природы объектов и их физических свойств.
Процесс (или схема) размножения и гибели описывается графом состояний, приведенным на рис. 1.
Число состояний равно m+1. Из каждого состояния wk, k = 1,2,…, m-1, возможны переходы только в соседние состояния wk-1 и wk+1. Переход wk→wk+1 (k = 0, 1, 2, …, m-1) означает рождение некоторого объекта, а переход wk→wk-1 (k = 1, 2, …, m) – его гибель. Таким образом, индекс k в обозначении wk показывает число объектов, находящихся в системе.
С помощью математических моделей такого процесса находят характеристики, которые позволяют производить его анализ, сравнивать между собой различные процессы, выбирать и конструировать лучшие варианты и даже управлять такими процессами. Мы рассмотрим модель на основе теории марковских процессов.
ОПИСАНИЕ С ПОМОЩЬЮ МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА
Марковский процесс относится к случайным процессам с дискретными состояниями и непрерывным временем, то есть нахождение в состояниях и переходы между ними происходят в непрерывном времени. Переход из состояния wi в состояние wj за достаточно малый промежуток времени описывается вероятностью:
,
где – параметр, называемый интенсивностью перехода wi→wi-1 в непрерывном времени, –бесконечно малая величина более высокого порядка малости по сравнению с при . Если интенсивности не зависят от времени, то процесс будет однородным, а вероятности будут зависеть только от wi, wj и длины и не будут зависеть от положения промежутка на оси времени. Для однородного марковского процесса время нахождения в каждом состоянии распределено по показательному закону.
Будем полагать, что время нахождения в каждом состоянии распределено по показательному закону, а переходы между состояниями описываются постоянными во времени интенсивностями. В этом случае для составления математической модели процесса размножения и гибели может быть применена теория однородных марковских процессов. Мы ограничимся рассмотрением только стационарного (установившегося) режима, который описывается предельными вероятностями и некоторыми обобщенными характеристиками на основе этих вероятностей. Формулы для предельных вероятностей процесса размножения и гибели на базе однородных марковских процессов известны:
,, (1)
, ,
где – параметр, равный отношению интенсивности переходак интенсивности перехода.
Можно сформулировать правило вычисления предельной вероятности состояния wk (k = 1, 2, …, m): вероятность состояния равна произведению параметров для всех переходов левее состояния, умноженному на вероятность крайнего левого состояния. Следует отметить, что при имеет место процесс чистого размножения.
Одно из наиболее разработанных приложений схемы размножения и гибели – это ее использование для моделирования систем массового обслуживания.