ГОС / 15

15. Потенциал. Энергия взаимодействия системы зарядов. Энергия электростатического поля. Проводники в электрическом поле. Электроемкость.

Электростатическое поле является потенциальным, так как два уравнения удовлетворяют второму уравнению Максвелла ,

в дифференциальной и интегральной формах соответственно.

Потенциальность электростатического поля позволяет ввести некоторое скалярное поле φ, такое, что: (2.1), где φ скалярная величина (скалярный потенциал). Уравнение (2.1) неоднозначно задает скалярный потенциал, так как если к скалярному полю прибавить постоянную, то значение напряжения электростатического поля не изменится:

(2.2)

Вычислим элементарную работу по перемещению единичного заряда из точки А в точку В: (2.3)

Выражение (2.3) говорит о том, что элементарная работа по перемещению единичного заряда равна убыли потенциала. Вычислим работу по перемещению единичного заряда из точки А в точку В: (2.3’) (2.4). Выражение (2.4) говорит о том, что работа сил поля по перемещению единичного заряда равна разности потенциалов в этих точках.

Так как потенциал в данном поле обладает неоднозначностью, то при вычислении потенциала необходимы дополнительные условия. Этим дополнительным условием является стремление φ к нулю на бесконечности: (2.5)

Воспользуемся (2.4). Пусть точка В стремится к бесконечности, тогда работа сил поля по перемещению единичного заряда из данной точки на бесконечность равна потенциалу в данной точке: (2.6)

Работа поля совершается за счет убыли энергии зарядов поля, следовательно, потенциал является энергетической характеристикой поля. Рассмотрим заряд q, он создаст вокруг себя электростатическое поле, посчитаем потенциал, создаваемый этим зарядом в точке А, находящемся на расстоянии r от заряда.

Из механики , -сила, действующая со стороны поля на заряд

, (и сонаправлены).

(3.1)

Потенциал точечного заряда убывает, обратно пропорционально расстоянию.

При вычислении потенциала в точке А, т.е. при вычислении перемещения единичного заряда из точки А на форма пути не учитывалась, поэтому можно сделать вывод, что работа в электростатическом поле не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точки, это свойство можно взять в качестве одного из определений потенциальности электростатического поля.

,

Характеристиками электростатического поля являются напряженность поля и потенциал. Напряженность поля характеризуется силовыми линиями, это векторная величина и определяет силовую характеристику поля. Потенциал является энергетической характеристикой поля, скалярная величина, его можно охарактеризовать эквипотенциальной поверхностью (поверхность равного потенциала). На эквипотенциальных поверхностях , если . Т.е. напряженность электростатического поля в каждой точке, перпендикулярна эквипотенциальной поверхности.

Выберем в пространстве точку А и посчитаем потенциал, создаваемый в ней системой точечных зарядов.

Согласно (3.1) ,

тогда согласно принципу суперпозиции для потенциала можно сказать, что потенциал системы зарядов некоторой точке равен алгебраической сумме полей, создаваемой каждым из этих зарядов в данной точке.

(3.2) (3.3)

Предположим, что заряд распределен в некотором объеме V с объемной плотностью . Выделим в этом объеме элемент объемы dV, тогда заряд, создаваемый этим элементом объема будет . Выберем точку А, потенциал создаваемый в объеме dV в точке А будет: (3.4)

Чтобы определить потенциал, создаваемый зарядом во всем объеме V, проинтегрируем (3.4) по всему объему (3.5) интегрирование ведется по координатам элемента объема, штрихи опускаются. (3.5’) решение уравнения Пуассона

Рассмотрим случай, когда заряды распределены по поверхности с поверхностной плотностью . (3.6)

что бы посчитать потенциал, создаваемый всей поверхностью, проинтегрируем (3.6) по поверхности (3.7)

(1) Энергия для электромагнитного поля

В электростатическом поле , (2), (3) плотность энергии. Уравнения (2), (3) говорят о том, что энергия электростатического поля не равна 0 во всех точках, где есть поле.

Получим другое выражение для энергии, учитывая связь с потенциалом (4)

,

(5)

Рассмотрим все бесконечное пространство

, (6), (7) - плотность энергии.

(6), (7) говорят о том, что плотность энергии не равна 0 в тех точках, где плотность заряда отлична от 0. Для электростатического поля (2) и (6) дает одно и тоже значение при вычислениях, однако физическое толкование энергии электростатического поля, даваемое (2), более правильное, т.к. энергия электростатического поля отлична от 0 во всех точках, где есть поле, а не только в тех точках, где есть заряд. Более того, для переменного поля (2) остается в силе, а (6) не верна.

Получим выражение энергии электростатического поля для зарядов, распределенных в пространстве дискретно. В некотором объеме имеется система точечных зарядов . - расстояние между i-ым и j-ым зарядами.

, , (7)

Т.к. заряды распределены дискретно, то от интегрирования можно перейти к суммированию.

, (8)

В (8) под будем понимать потенциал, создаваемый в точке, где находится i-ый заряд, всеми зарядами. (9)

При этом мы должны учитывать потенциал, который создается самим i-ым зарядом, но для i-ого заряда этот потенциал будет стремится к . Энергия будет стремится к , что физически бессмысленно. В дальнейшем потенциал, создаваемый точечным зарядом в точке, где находится сам заряд, не учитывается, а учитываются только потенциалы, создаваемые другими зарядами.

Поэтому , (10) Энергия электростатического поля, создаваемого системой зарядов.

Определение: Вещества, которые содержат свободные заряды, то есть заряды, которые могут перемещаться во всех направлениях на любые расстояния в пределах данного тела, называются проводниками.

Поместим проводник во внешнее электростатическое поле. Под действием этого внешнего поля свободные заряды внутри проводника будут перемещаться до тех пор пока не создадут внутри проводника внутреннее поле компенсирующее внешнее

. То есть внутри проводника напряжённость электростатического поля будет равна нулю. Напряжённость внутри проводника равна нулю - вне не равна нулю, проводник заряжен по поверхности с поверхностной плотностью зарядов - σ.

D_1n-D_2n=σ (6.2), E_1τ-E_2τ=0 (6.3), ε=1, ε_oE_1n+ ε_oE_2n=σ (6.2’), E_2n=0 E_2τ=0,

σ= ε_oE_1n (6.4), E_1τ=0

в каждой точке поверхности, следовательно, вектор напряжённости электростатического поля перпендикулярен в каждой точке поверхности.

На поверхности проводника вектор напряжённости электрического поля перпендикулярен поверхности, таким образом, нормальная составляющая численно не равна вектору напряжённости электростатического поля на поверхности проводника.

Рассмотрим, как меняется внутри проводника потенциал(6.4’)

Рассмотрим, что происходит с потенциалом. (6.5) dφ=0;φ=const. Внутри проводника потенциал постоянен,

На границе проводника потенциал постоянный, это значит, что поверхность проводника - эквипотенциальная поверхность. Напряжённость в каждой точке перпендикулярен потенциалу, следовательно перпендикулярен поверхности.

Связь потенциала уединённого проводника с его зарядом.

Проводник конечных размеров в бесконечном пространстве называется уединённым. Можно считать, что в целом проводник характеризуется зарядом и потенциалом. Заряд проводника распределяется по поверхности с постоянной плотностью σ и вычисляется по формуле (6.6)

Поверхностный заряд проводника мы можем определить, зная напряжённость электрического поля на поверхности проводника, то есть по формуле (6.4’), а напряжённость поля можно определить, зная потенциал

Смысл dφ- элементарная работа по перемещению единичного заряда на перемещении . Работа в электростатическом поле не зависит от формы пути следовательно элемент перемещения можем выбирать произвольно и в данном случае выберем его сонаправленно с : , (6.7)

(6.8)-говорит о том, что заряд и потенциал на поверхности проводника, пропорциональны друг другу. Отношение заряда к потенциалу проводника не зависит ни от заряда, ни от потенциала, является величиной постоянной для данного проводника и называется ёмкостью проводника.

Ёмкость проводника не зависит, ни от заряда, ни от потенциала, а зависит только от геометрических размеров и среды, в которой он находится.

Ёмкость конденсатора (электроёмкость). Конденсатор - совокупность двух проводников, разность потенциалов между которыми определяется зарядами проводников. Проводники - обкладки конденсатора, их заряд разный по знаку, но постоянный по значению. При этом между обкладками проводников возникает разность потенциалов пропорциональных одному из зарядов обкладок. Ёмкостью конденсатора называется отношение заряда обкладок к разности потенциалов между ними. Электроемкость не зависит от q и, а зависит только от геометрических размеров конденсатора и от среды, которая находится между обкладками конденсатора. В случае большого числа проводников в электростатическом поле существует связь между зарядами проводников и их потенциалами.

(6.11), С_ij – емкостные коэффициенты.

4