ГОС / 14

14. Взаимодействие неподвижных зарядов, закон Кулона. Закон Гаусса и его применение к расчету полей. Потенциальность электростатического поля. Уравнения Максвелла для электростатического поля в вакууме.

Закон Кулона. Закон Кулона относится к наиболее важным законам физики. Впервые он был установлен Г.Кавендишем(1773г.) и независимо М.Кулоном(1785г.).

Опыт показывает, что между электрически заряженными телами существует взаимодействие в виде сил и моментов сил, действующих на эти тела. Это взаимодействие описывается простой формулой в случае точечных зарядов, находящихся в однородной изотропной среде, заполняющей все пространство.

Определение1: Точечные заряды - заряженные тела, размеры которых малы по сравнению с расстояниями между ними.

Эмпирически установлено, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами и пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, т.е. математически ,.

0-начало отсчета >0 (заряды одноименные)

Заряд создает электрическое поле, действующее на с силой

Численно: ,где к - коэффициент пропорциональности.

В системе СИ: к =(3.1), Ф/м - электрическая постоянная.

Векторная запись: (3.2), - величина радиус-вектора, соединяющего первый заряд со вторым. (3.3) - его единичный вектор, -сила, действующая со стороны первого заряда на второй (центральная сила). Вокруг также электрическое поле, действующее на с силой . По 3-му закону Ньютона =-. Если систему этих зарядов поместить в среду с диэлектрической проницаемостью ε , то сила взаимодействия уменьшается в ε раз: (*).

Диэлектрическая проницаемость показывает во сколько раз сила взаимодействия точечных зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Соотношение (*) выражает закон Кулона: Сила взаимодействия между точечными электрическими зарядами в однородной изотропной диэлектрической среде пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Пусть в пространстве имеется точечный заряд q. Он создает вокруг себя электрическое поле. Окружим данный заряд поверхностью произвольной формы и вычислим поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность. Выберем элементарную площадку и посчитаем элементарный поток .

, , ,

- вектор напряженности точечного заряда.

- элемент поверхности вектору напряженности электрического поля (и радиус-вектору).

- элемент телесного угла, - телесный угол, - элемент телесного угла, под которым рассматриваемая поверхность видна из точки, где находится заряд.

Если рассматриваемая поверхность целиком охватывает заряд, то телесный угол, под которым видна эта поверхность, равен .

Для сферы:

, ,

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному в этой поверхности, деленному на электрическую постоянную (Теорема Гаусса для точечного заряда в вакууме).

Запишем теорему Гаусса для системы точечных зарядов. Пусть в пространстве имеется система точечных зарядов . Для каждого заряда справедлива теорема Гаусса.

, ; , ,

Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных в этой поверхности, делённой на .

Для среды с проницаемостью .

, если заряд в пространстве распределен непрерывно с объемной плотностью .

,

Данная теорема Гаусса является одним из уравнений Максвелла в интегральной форме.

Это уравнение связывает характеристики заряда и характеристики поля.

Для получения дифференциального соотношения воспользуемся теоремой Гаусса – Остроградского.

Поток произвольного вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, охватываемого этой поверхностью.

Дивергенция равна потоку этого вектора через поверхность, охватывающую единичный объем.

В декартовых координатах ; Градиент – вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции.

, ,

Умножим обе части на , правую часть перенесем влево и интегралы объединим.

Область интегрирования бралась произвольно, интеграл равен 0, поэтому ; - уравнение Максвелла в дифференциальной форме - дифференциальный вариант теоремы Гаусса. Записано оно для данной точки пространства, где есть заряд. Плотность заряда в данной точке определяет дивергенцию вектора напряженности электрического поля в этой точке. Если циркуляция некоторого векторного поля по любому контуру равна нулю, то такое поле называется потенциальным. Электростатическое поле является потенциальным, для него выполняется - уравнение Максвелла в интегральной форме. На основании теоремы Стокса циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность контура . В силу равенства нулю циркуляции по произвольному контуру имеем в любой точке электростатического поля. Это соотношение - уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

2