I. Представление некоторых функций формулой Маклорена ():

а) , б),

в) , г),

д) .

Доказательство сразу вытекает из соотношений:

а) , б)в)

г) д).

Вставка 4.

II. Третье достаточное условие локального экстремума. Пусть дана функция. Если из производных, не обращающихся в нуль в точке, первой оказывается производная нечетного порядка, тоне является точкой локального экстремума. Если же такой производной является производная четного порядка, то- точка локального экстремума, причем точкой максимума, если эта производная отрицательна, и минимума, если эта производная положительна.

Действительно, пусть ,, - первая производная, отличная от нуля. Запишем формулу Тейлора в следующем виде

при.

Ясно, что при х,близких кх₀,. Поэтому при нечетномэтот знак меняется в зависимости от полуокрестности, и потому экстремума в точкенет. При четномзнак не меняется, что и означает наличие экстремума в точке.

Вставка 5.

III. Приближенные вычисления. При, близком к, из формулы Тейлора получим формулу для приближенных вычислений значения функции

,

причем за счет увеличения числа можно будет добиться наперед заданной точности вычислений (об этом более подробно будет изложено во второй части в теме «Ряды»).

Вставка 6.

IV.. Выделение главной части функции.Из формулы Тейлора следует, что главная часть функцииf приравна, например, первому слагаемому, отличному от нуля.

Вставка 7.

Y.Вычисление пределов основано на формуле~при, где- многочлен Тейлора, что равносильно замене функции fее главной частью при.

Вставка 8.

Вопросы и упражнения

1. Доказать формулу бинома Ньютона.

2.Доказать, что формула Маклорена для четной (нечетной) функции содержит только четные (нечетные) степени.

76