§ 3. Выпуклость, точки перегиба и асимптоты графика функции

Пусть функция непрерывна в интервалеи дифференцируема в точке. Рассмотрим взаимное расположение графика функции и его касательной в точке, уравнение которой имеет вид.

Определение1. Точканазываетсяточкой выпуклости вверх (вниз), если, в которой, т.е. график функциив окрестностилежит ниже (выше) своей касательной в точке.

Определение 2. Если каждая точка интервалаесть точка выпуклости вверх (вниз) для графика функции, то функцияназываетсявыпуклой вверх (вниз) на интервале(рис. 1 а,б).

а) б) в)

Рис. 1

Определение3. Точканазываетсяточкой перегибаграфика функции, если при переходе через нее график меняет направление выпуклости (рис. 1 в).

Исходя из приведенных определений, достаточное условие выпуклости и перегиба графика функции можно выразить через первую производную (см. упр. 1). Однако мы ограничимся следующим утверждением.

Теорема1. Пусть функциядважды дифференцируема в интервале. Тогда, еслив, то функциявыпукла вниз (выпукла вверх) на; если функцияменяет знак при переходе через точку, то- точка перегиба.

Доказательство. Пусть- касательная к графику функциив точке. Тогда по теореме Лагранжа получим

где и точкалежит междуи.

Применим еще раз теорему Лагранжа к функции , получим

где точка лежит между точкамии.

Поскольку точкиилежат по одну сторону от точки, то. В силу этого знак разностиприсовпадает со знаком, откуда и следует утверждение теоремы.

Вставка 1.

Определение4. Говорят, что прямаяявляетсявертикальной асимптотойграфика функции, если хотя бы одно из предельных значенийилиравноили

Из этого определения видно, что если есть точка бесконечного разрыва функции, то прямаяесть вертикальная асимптота для графика функции. Верно и обратное.

Определение5. Пусть, либо, либо. Прямаяназываетсянаклонной асимптотойграфика функции, если.

Теорема2 (нахождение наклонной асимптоты). Условиеэквивалентно паре условий.

Доказательство. 1). Из левого равенства получим, из правого -, что равносильно равенству.

2. Непосредственно из соотношения получим.

Вставка 2.

Вопросы и упражнения

1.Доказать утверждение:"Пусть функциядифференцируема в интервале. Тогда, есливозрастает (убывает) на, то функциявыпукла вниз (вверх)".

2.Доказать, что если функциянепрерывна на интервалеи есливыполняется неравенство, то функциявыпукла вверх (вниз) на интервале. Дать геометрическое толкование этого неравенства.

3.Доказать неравенство.

§ 4. Примерная схема исследования графика функции

Можно порекомендовать следующую схему исследования:

1. , точки разрыва и их характер, вертикальные асимптоты.

2. Симметрия графика: четность, нечетность, периодичность; точки пересечения с осями координат.

3. Наклонные асимптоты.

4. Использование первой производной: промежутки монотонности, локальные экстремумы.

5. Использование второй производной: интервалы выпуклости, точки перегиба, контроль локального экстремума.

6. Составление сводной таблицы.

7. Построение графика.

В случае необходимости можно определить еще несколько точек графика.

Пример 1.Исследовать и построить график функции.

Решение. 1),- вертикальная асимптота.

2. График симметрией не обладает. Точки пересечения с осями координат: (0, 0).

3. наклонных асимптот нет.

4. ;

приипри- точка локального минимума.

2. ;

приипри- точка перегиба.

x		y			Эскиз
			–	+
0		0	0	0
(0, 2)			–	–
2	не опр.		не опр.	не опр.
(2, 3)			–	+
3		27	0	+
			+	+

Таким образом, график функции имеет вид (рис. 2).

Рис.2

Пример 2..

Решение.1)иопределены и непрерывны, причем,. Следовательно, функцияопределена при. Вертикальных асимптот нет, т.к.непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

2) График функции не обладает симметрией, т.к. ее область определения не симметрична. Точки пересечения с осями координат: (0, 0), (0, -2),,.

3) Так как при то наклонных асимптот нет.

4) при, приу функцииустранимый разрыв;при,при.

5) при;при,при.

t	x	y(x)			Эскиз
			–	+
–1	–3	–2	0	+
(–1, 1)	(–3, 1)	(–2, 2)	+	+
1	1	2
			+	–

Таким образом, получим график (рис. 3).

Рис. 3