Задача №1. Расчет многопролетной ШКБ

2.5.4. Построение ЛВ внутренних усилий в сечении k балки

а) Линия влияния изгибающего момента Mk в сечении k (рис. 5, е). Будем, как и выше, рассматривать вначале передвижение груза F 1 по той балке, к которой принадлежит рассматриваемое сечение. При движении груза F 1 по балке DЕG второстепенная балка СD не работает. Следовательно, участок D’E’G’ имеет тот же вид (рис. 5, е), что и линия влияния M K , в простой балке на двух опорах (рис. 4, г). Когда единичный груз находится на балке CD, на балку DEG передаёт-

- при положении груза F 1 в точке D: R’D=1 и Mk = -0,4; - при положении груза F 1 в точке C: R’D=0 и Mk = 0.

При положении F 1 на основной балке ABС, как было отмечено ранее, силы взаимодействия с вышележащим этажом СD и с балкой DЕG отсутствуют и в сечении k никаких усилий не возникает, поэтому соответствующий участок линии влияния совпадает с осевой линией (рис. 5, е).

б) Рассуждая аналогично, строим линию влияния Qk (рис. 5, ж).

2.5.5. В заключение рассмотрим особенности построения линий влияния внутренних усилий в сечении m, расположенном слева от опоры В.

а) Линия влияния изгибающего момента Mm в сечении m (рис. 6, г). Вначале рассмотрим передвижение груза F 1 по балке ABC, к которой принадлежит сечение m. Сечение m находится в пролёте AB, следовательно, при построении линии влияния используем рис 4, г. Сечение m расположено бесконечно близко к опоре B: a = 3м, b = 0 (см. рис. 6, б). Под опорами А и В откладываем соответственно ординаты a =3 м, b = 0 и строим правую и левую ветви линии влияния (см. рис 6, г). При этом левая ветвь линии влияния совпадает с осевой линией (участок A’B’), а правая – продолжается на консоли ВС. При движении груза F 1 по основной балке DEG силы взаимодействия с вышележащим этажом СD и с балкой ABC отсутствуют, усилия в сечении m не возникают и соответствующий участок линии влияния D’E’G’ совпадает с осевой линией. При движении F 1 по вспомогательной балке CD усилие R’C, передаваемое на балку ABC, меняется по линейному закону от 1 (сила F 1 в точке С) до 0 (сила F 1 в точке D). При этом

21

изгибающий момент Mm линейно изменяется от 2 (сила F 1 в точке С) до 0 (сила F 1 в точке D), что и отражает участок C’D’ линии влияния Mm.

б) Линия влияния поперечной силы Qm в сечении m (рис. 6, д). Как и ранее, по-

строение начинаем с балки ABC, которой принадлежит сечение m. Сечение m находится в пролёте AB, следовательно при построении линии влияния используем рис 4, д. Сечение m расположено бесконечно близко к опоре B, поэтому «скачок» на линии влияния располагаем под опорой В (см. рис. 6, д). Дальнейший ход построения линии влияния не отличается от построения линии влияния Mm.

Рис. 6. Построение линий влияния Mm, Qm

22

2.6. Определение усилий от заданной нагрузки по линиям влияния

2.6.1. Общая формула для определения усилий по линиям влияния

Линии влияния можно использовать для определения внутренних усилий в заданном сечении или реакций в рассматриваемых опорах от заданной неподвижной нагрузки.

Определение усилий от заданной неподвижной нагрузки по линиям влияния производится по формуле

где yi – ордината линии влияния под силой Fi;

ωi – площадь части линии влияния, расположенной под равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью qi;

φi – угол наклона прямолинейного участка линии влияния под моментом Mi.

При определении усилий по линиям влияния следует учитывать следующие правила знаков, принятые при выводе формулы (2):

-внешний момент Mi положителен, если направлен по часовой стрелке;

-угол φi считается положительным, если участок линии влияния до совмещения с осью приходится вращать по часовой стрелке;

-внешние сосредоточенные силы Fi и распределённые нагрузки qi положи-

тельны, если направлены вниз.

2.6.2. Определим значения реакций опор, используя формулу (2)

а) Опорная реакция RE.

Вычисляем (рис. 5, в, г): площадь участка линии влияния RE, находящегося под распределенной нагрузкой : ω1 (1, 2 6) / 2 3,6 (м); тангенс угла наклона участка линии влияния RЕ в точке приложения сосредоточенного момента:

tg 1 1,2 / 6 0,2 (м-1); ординаты линии влияния под силой F1: y1 0,4 ; под силой F2: y2 0 и под силой F3: y3 0,4. Размерность величин ω1, tgφ1, y1, y2, y3 для линии влияния опорной реакции обусловлена тем, что ординаты линии влияния безразмерны, а длины участков линии влияния имеют размерность длины (м).

Тогда, согласно формуле (2):

RE F1 0,4 F2 0 F3 0,4 q 3,6 M ( 0,2)

20 0,4 9 0,4 5 3,6 8 ( 0,2) 24кН, что соответствует результату расчёта, приведённого в п. 2.4.3 настоящих методических указаний.

Здесь знаки «–» перед F3, M и tgφ1 поставлены в соответствии с приведёнными выше правилами.

23

б) Опорная реакция RA .

Вычисляем (рис. 5, в, д): площади участков линии влияния RA, находящихся под распределенной нагрузкой : ω1 (0,667 8) / 2 2,668 (м),

ω2 1 3/ 2 1,5 (м); тангенс угла наклона участка линии влияния RA в точке приложения сосредоточенного момента: tg 1 0 ; ординаты линии влияния под силой

F1: y1 0 , под силой F2: y2 0,667 и под силой F3: y3 0,444 . Тогда, согласно формуле (2):

RA F1 0 F2 ( 0,667) F3 ( 0, 444) q (1,5 2,668) M 0

20 0 6 ( 0,667) 9 ( 0,444) 5 (1,5 2,668) 5,84 кН.

Значение RA отрицательно, следовательно, реакция направлена вниз, что соответствует результату расчёта, приведённого в п. 2.4.2 настоящих методических указаний. Напомним, что положительные опорные реакции направлены вверх (см.

рис. 3).

2.6.3. Определим внутренние усилия (изгибающий момент и поперечную силу) в сечении m.

а) Изгибающий момент Мm. (рис. 6, в, г)

Площадь участка линии влияния Мm, находящегося под распределенной нагрузкой: ω1 (2 8) / 2 8 (м2). Ордината линии влияния, расположенная под

силой F1: y1 0 ; под силой F2: y2 2 (м) и под силой F3: y3 1,333(м). Тангенс угла наклона участка линии влияния Mm в точке приложения сосредоточенного момента: tg 1 0 . Размерность величин ω1, tgφ1, y1, y2, y3 для линии влияния изгибающего момента обусловлена тем, что и ординаты линии влияния, и длины участков линии влияния имеют размерность длины (м).

По формуле (2) получаем:

Mm F1 0 F2 ( 2) F3 ( 1,333) q ( 8) M 0

20 0 6 ( 2) 9 ( 1,333) 5 ( 8) 8 0 40 кН м (соответствует резуль-

тату аналитического расчёта, см. рис. 2, г).

б) Поперечная сила Qm в сечении m (рис. 6, в, д)

Площади участков линии влияния Qm под распределённой нагрузкой

1 (1 3) / 2 1,5 (м); 2 (0,667 8) / 2 2,668(м). Ординаты линии влияния под сосредоточенными силами: y1 = 0; y2 = – 0, 667; y3 = – 0, 444. Тангенс угла наклона участка линии влияния в точке k: tg 1 0 .

Подставляя в формулу (2), получаем:

24

Qm F1 0 F2 ( 0,667) F3 ( 0, 444) q ( 1,5 2,668) M 0

20 0 6 ( 0,667) 9 ( 0, 444) 5 ( 1,5 2,668) 8 0 20,84 кН (соответ-

ствует результату аналитического расчёта, см. рис. 2, г).

2.6.4. Рассмотрим особенности определения изгибающего момента и попе-

речной силы в сечении k. В сечении k на линиях влияния изгибающего момента и поперечной силы имеются разрывы:

- на линии влияния поперечной силы имеется «скачок» на 1; -на линии влияния изгибающего момента наблюдается изменение угла на-

клона примыкающих участков линии влияния. а) Изгибающий момент M k (рис. 5, в, е)

Площади участков линии влияния Мk, находящихся под распределенной нагрузкой: ω1 (0, 4 6) / 2 1, 2 м2. Ордината линии влияния, расположенная под

силой F1: y1 1,2 ; под силой F2: y2 0 и под силой F3: y3 0,133.

В сечении k изгибающий момент не определён: на линии влияния Мk в этой точке имеется перелом. Напомним, что на эпюре М в точке приложения сосредоточенного момента имеется скачок на величину этого момента M (см. рис. 3, в).

Определим значения изгибающего момента бесконечно близко слева и справа от сечения k. Схема участка EG линии влияния Mk показана на рис. 7, а-в.

Сечение расположено слева от точки k (см. рис. 7, б). При этом вершина линии влияния изгибающего момента расположена под сечением, т.е. слева от точки k. Под точкой приложения момента М оказывается правый участок линии влияния с тангенсом угла наклона tg 1прав 1, 2 / 2 0,6 .

Изгибающий момент слева от точки k по формуле (2):

Mклев F1 y1 F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1прав

20 1, 2 6 0 9 ( 0,133) 5 ( 1, 2) 8 ( 0,6) 24 кН∙м.

Сечение расположено справа от точки k (см. рис. 7, в). Вершина линии влияния расположена справа от точки k. Под точкой приложения момента М оказывается левый участок линии влияния с тангенсом угла наклона tg 1лев

Изгибающий момент справа от точки k по формуле (2):

Mкправ F1 y1 F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1лев

20 1, 2 6 0 9 ( 0,133) 5 ( 1, 2) 8 0, 4 16 кН∙м.

б) Поперечная сила Qk в сечении k (рис. 5, в, ж)

Вычисляем: площадь участка линии влияния Qk под распределённой нагрузкой ω1 (0, 2 6) / 2 0,6 (м); тангенс угла наклона участка Еk линии влияния:

25

tg 1 (0,6 / 3) 0,2 ( м-1); ордината линии влияния, расположенная под силой

F2: y2 0 и под силой F3: y3 0,067 .

В сечении k поперечная сила не определена: на линии влияния Qk в этой точке имеется скачок на 1. На эпюре Q в точке приложения сосредоточенной силы F1 имеется скачок на величину силы F1 (см. рис. 3, б).

Определим значения силы Q бесконечно близко слева и справа от сечения k. Схема участка EG линии влияния Qk показана на рис. 7, г-е.

Сечение расположено слева от точки k (рис. 7, д). Скачок на линии влияния поперечной силы расположен под сечением, т.е. слева от точки k. Под силой F1

оказывается ордината у1прав 0, 4 .

Поперечная сила слева от точки k (см. рис. 7, д):

Сечение расположено справа от точки k (рис. 7, г). Скачок на линии влияния поперечной силы расположен справа от точки k. Под силой F1 оказывается ордината у1лев 0,6 .

Поперечная сила справа от точки k (см. рис 7, е):

Qкправ F1 y1лев F2 y2 F3 y3 q ω1 M tg 1

20 ( 0,6) 6 0 9 0,067 5 0,6 8( 0, 2) 8 кН.

26

Рис. 7. К определению усилий М и Q по линиям влияния при приложении сосредоточенной силы или момента в точке разрыва линии влияния.

2.6.5. Сравним результаты, полученные по линиям влияния, со значениями, найденными при построении эпюр (Таблица 2). Расхождения результатов расчётов не превышают 0,17%. Допускаются расхождения не более 0,5-1%.

Таблица 2

27

2.7. Определение прогиба n и угла поворота n сечения n.

2.7.1. Для определения перемещений воспользуемся методом Мора.

Вычисление интеграла Мора производим с помощью формулы Симпсона в следующем порядке:

1)Строим эпюру изгибающих моментов от действия заданной нагрузки – эп. M F (в рассматриваемом примере: эп. М на рис. 3, в);

2)Выбираем вспомогательные единичные состояния. Для этого освобождаем сооружение от заданной нагрузки и в сечении n по направлению искомого перемещения прикладываем единичное воздействие: при определении линейного пе-

ремещения – сосредоточенную силу F1 1 (рис. 3, г); при определении угла пово-

рота – единичный момент М 2 1 (рис. 3, е);

3) Строим эпюру изгибающих моментов от единичного воздействия – эп. M 1 (рис. 3, д) и эп. M 2 (рис. 3, ж);

Используется следующее правило знаков: произведение ординат положительно, если обе ординаты лежат по одну сторону от оси.

28

2.7.2. Рассмотрим определение вертикального перемещения (прогиба) сечения n.

а) Построим единичную эпюру без использования «поэтажной» схемы (второй способ расчёта многопролётных шарнирно-консольных балок, см. п. 2.3). Для определения опорных реакций помимо уравнений статики составим дополнительные уравнения, выражающие равенство нулю изгибающего момента в шарнирах.

Определим реакции RE и RG, рассматривая силы, действующие справа от шарниров С и D:

MCправ RЕ 7 RG 12 F 2 0 .

Подставляя значение RЕ во второе уравнение, получаем:

RG 6 7 RG 12 F 2 RG ( 42 12) 1 2 0

RG 2 / 30 0,067 ;

RЕ RG 6 0,067 6 0, 4

Реакции в опорах, вызванные действием безразмерной единичной силы, будут также безразмерными.

Реакцию RB определим из условия равновесия многопролётной балки в це-

лом:

M A RB 3 RЕ 12 RG 17 F 7 0

Для определения реакции RA составим уравнение моментов левых сил относительно шарнира С:

RА RВ 2 / 5 1,111 2 / 5 0,444

Для проверки составим уравнение:

FY RA RB RЕ RG F 0,444 1,111 0,4 0,067 1 0 .

Следовательно, реакции опор определены верно.

б) Для построения единичной эпюры изгибающих моментов вычисляем значения изгибающих моментов в сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных активных и реактивных сил:

MA = 0;

MВ= RA · 3 = – 0,444 · 3 = – 1,33 м;

Mп= RA · 7 + RВ · 4 = – 0,444 · 3 + 1,111 · 4 = 1,33 м;

MG = 0;

29

ME= RG · 5 = – 0,067 · 5 = – 0,34 м;

При построении эпюр учитываем, что изгибающие моменты в шарнирах C и D равны нулю.

в) Прогиб сечения n вычисляется следующим образом:

Результат положительный, следовательно, перемещение совпадает с направлением силы F1 1.

2.7.3. Для определения угла поворота сечения n выбираем новое единичное состояние – снимаем с балки нагрузку и прикладываем единичный момент

Результат отрицательный, следовательно, направление поворота сечения n противоположно направлению единичного момента M 2 . Сечение n поворачивается против часовой стрелки.

30