Задача №1. Расчет многопролетной ШКБ

ции в крайних участках, чтобы построить ее график (эпюру Q).

При х1 = 0: Q = RC = 9 кН; при х1 = 2 м: Q = RC – q · 2 = 9 – 5 · 2= – 1 кН.

М = RC · х1 – q · х1 · х1/2. Так как имеем квадратное уравнение, находим значение функции при трех значениях аргумента – в начале, в конце и середине участка (для построения параболы).

При х1 = 0: М = 0;

при х1 = 1 м: М = RC · 1 – q · 1 · 1/2 = 9 · 1 – 5 ·0,5 = 6,5 кН·м; при х1 = 2 м М = RC · 2 – q · 2 · 2/2 = 9 · 2 – 5 · 2 · 1 = 8 кН·м.

Участок Dn: 0 ≤ х2 ≤ 4 м

Q = – RD + q · х2; М = RD · х2 – q · х2 · х2/2. При х2 = 0: Q = – RD = – 12 кН; М = 0.

При х2 = 2 м: М = RD · 2 – q · 2 · 2/2 = 12 · 2 – 5 · 2 · 1 = 14 кН·м.

При х2 = 4 м: Q = – RD + q · 4 = – 12 + 5 · 4= 8 кН; М = RD · 4 – q · 4 · 4/2 = 12 · 4 – 5 · 4 · 2 = 8 кН·м.

На участках Cn и Dn эпюра Q пересекает нулевую линию. Из курса сопротивления материалов известна зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой: Q = dM /dх. В сечениях х0, где Q = dM /dх = 0 на эпюре М, будут экстремумы.

Участок Cn: Q0 = dM /dх = RC – q · х0Cn = 0 х0Cn = RC / q = 9 / 5 = 1,8 м.

М maxCn = RC · х0Cn – q · х0Cn · х0Cn/2 = 9 · 1,8 – 5 · 1,8 · 1,8 / 2 = 8,1 кН·м.

Участок Dn: Q0 = dM /dх = – RD + q · х0Dn = 0 х0Dn = – RD /q = – 12 /5 = 2,4 кН. М maxDn = RD · х0Dn – q · х0Dn · х0Dn/2 = 12 · 2,4 – 5 · 2,4 · 2,4 / 2 = 14,4 кН·м.

2.4.2. Переходим к основной балке ABC (рис. 2, г).

К нагрузкам, действующим на балку q и , добавим R´C = 9 кН – силу взаимодействия с вышележащей балкой CD. Сила R´C приложена в точке С и направлена вниз (противоположно силе RС, действующей со стороны балки DЕG на балку CD).

а) Опорные реакции балки ABC:

11

Q = RА – q · х3; М = RC · х3 – q · х3 · х3/2. При х3 = 0: Q = RА = – 5,83 кН; М = 0.

При х3 = 1,5 м: Q = RА – q · 1,5 = – 5,83 – 5 · 1,5= – 13,33 кН;

М= RА · 1,5 – q · 1,5 · 1,5/2 = – 5,83 · 1,5 – 5 · 1,5 · 0,75 = – 14,37 кН·м. При х3 = 3 м: Q = RА – q · 3 = – 5,83 – 5 · 3= – 20,33 кН;

М= RА · 3 – q · 3 · 3/2 = – 5,83 · 3 – 5 · 3 · 1, 5 = – 40 кН·м.

Участок СВ: 0 ≤ х4 ≤ 2 м

Q = R´C + F2 + q · х4; М = – (R´C + F2) · х4 – q · х4 · х4/2. При х4 = 0: Q = R´C + F2 + q · 0= 9 + 6 = 15 кН; М = 0.

При х4 = 1 м: Q = R´C + F2 + q · 1= 9 + 6 + 5 · 1= 20 кН;

М= – (R´C + F2) · 1 – q · 1 · 1/2 = – (9 + 6) · 1 – 5 · 1 · 1/2 = 17,5 кН·м.

При х4 = 2 м: Q = R´C + F2 + q · 1= 9 + 6 + 5 · 2= 25 кН;

М= – (R´C + F2) · 2 – q · 2 · 2/2 = – (9 + 6) · 2 – 5 · 2 · 2/2 = – 40 кН·м.

2.4.3.Следующей рассчитываем основную балку DЕG (рис. 2, д). Кроме за-

данных нагрузок М и F1, в точке D на нее действует сила R´D = 12 кН от вышележащей балки СD.

а) Опорные реакции балки DЕG:

12

Проверяем ∑FУ = RG + RE – R´D – F1 = 8 + 24– 12 – 20 = 0.

б) Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки DЕG (рис. 2, д).

Участок DE: 0 ≤ х5 ≤ 1 м.

Q = – R´D = – 12 кН;

М = – R´D · х5: при х5 = 0: М = 0; при х5 = 1 м: М = – 12 · 1 = – 12 кН·м.

Участок Ek: 0 ≤ х6 ≤ 3 м.

Q = – R´D + RE = – 12 + 24 = 12 кН;

М = – R´D · (1+ х6) + RE · х6: при х6 = 0: М = – 12 · (1+ 0) + 24 · 0 = – 12 кН·м; при х6 = 3: М = – 12 · (1+ 3) + 24 · 3 = 24 кН·м.

Участок kG: 0 ≤ х7 ≤ 2 м.

Q = – R´D + RE – F1 = – 12 + 24 – 20 = – 8 кН;

М = – R´D · (4+ х7) + RE · (3+ х7) – F1 · х7 – M:

при х7 = 0: М = – 12 · (4+ 0) + 24 · (3 + 0) – 20 · 0 – 8 = 16 кН·м; при х7 = 2: М = – 12 · (4+ 2) + 24 · (3 + 2) – 20 · 2 – 8 = 0.

2.4.4. Построение окончательных эпюр внутренних усилий и их проверка

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной многопролетной балки (рис. 3, а) строятся путем объединения на общих осях эпюр Q и M, построенных для каждого элемента в отдельности (рис. 3, б, в).

Отметим, что скачки на эпюре Q равняются внешним силам, приложенным к балке. В шарнирах, к которым не приложены внешние силы, скачки отсутствуют (шарнир D).

Более подробно проверка эпюр M и Q описана в Приложении Б.

2.4.5. Выполним статическую проверку для всей многопролетной балки

(сумма заданных сил и реакций опор должна быть равна нулю):

∑FУ = RA + RB + RE + RG – q · 11 – F2 + F3 – F1 = – 5,83 + 45,83 + 24 + 8 – 5 · 11

– 6 + 9 – 20 = 0. Условие проверки выполнено.

13

Рис. 2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

14

Рис. 3. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для многопролётной балки (б, в), определение перемещений сечения k (г, д, е, ж)

15

2.5. Построение линий влияния

2.5.1. Общие сведения по линиям влияния Линией влияния (ЛВ) какого-либо фактора (опорной реакции, изгибающего

момента и поперечной силы в определённом сечении сооружения) называется график, изображающий закон изменения этого фактора при движении груза F 1 по всей длине сооружения.

Ордината ЛВ – это значение соответствующего усилия в рассматриваемом сечении или опоре, когда груз находится на балке над этой ординатой. В соответствии с этим определением:

-ордината ЛВ поперечной силы в сечении k – это значение поперечной силы

всечении k, для которого построена линия влияния, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой;

-ордината ЛВ изгибающего момента в сечении k – это значение изгибающего момента в сечении k, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой;

-ордината ЛВ опорной реакции – это значение реакции в опоре, для которой построена линия влияния, когда единичный груз находится на балке над рассматриваемой ординатой.

Отметим, что при построении ЛВ учитывается только подвижная единичная нагрузка. Заданная неподвижная нагрузка (см. рис. 2, а) при построении ЛВ не учитывается.

При построении ЛВ единичный груз F 1 считаем положительным, если он направлен сверху вниз. Опорные реакции считаем положительными, когда они направлены снизу вверх (см. реакции RA и RB на рис. 4, а).

В связи с тем, что ЛВ строятся при движении безразмерной единичной силы, их размерность определяется зависимостью:

размерность ординаты ЛВ = размерность искомой величины . размерность силы (кН)

Поэтому ординаты ЛВ

-поперечных и продольных сил будут безразмерными кН/кН = б/р,

-изгибающего момента имеют размерность кН·м/кН = м,

-прогибов = м/кН.

Для построения ЛВ могут применяться статический, кинематический, стати- ко-кинематический способы. В настоящем пособии рассмотрено применение статического способа построения ЛВ.

16

При применении статического метода груз F 1 фиксируется в выбранной системе координат на заданном участке его движения, и, записав уравнение равновесия статики (при помощи ранее рассмотренных приемов), получают зависимость усилия от текущей абсциссы х груза F 1 . Задавая х определенные значения, строят график изменения усилия – его линию влияния.

Заметим, что в статически определимых системах найденные зависимости изменения реакций и внутренних усилий описываются линейными уравнениями, и соответствующие линии влияния при движении груза по прямой изображаются отрезками прямых линий, что значительно облегчает построение, в то время как в статически неопределимых системах линии влияния усилий являются криволинейными, и на их построение требуется гораздо больше времени.

Во всех учебниках по строительной механике подробно выводятся аналитические выражения ЛВ различных усилий и приводятся их графики для консольной балки и для однопролетной балки с консолями. Такие простейшие ЛВ показаны на рис. 4, их называют табличными.

Линии влияния для статически определимых балок с жёсткой заделкой приведены в Приложении В.

2.5.2. Анализ ЛВ позволяет рекомендовать следующие правила построения ЛВ в многопролетных шарнирно-консольных балках

Для построения ЛВ в многопролетной балке удобно пользоваться «поэтажной» схемой (рис. 5, б).

Возможны два варианта построения ЛВ в зависимости от расположения рассматриваемого сечения (на каком «этаже» балки оно находится).

1). Если рассматриваемое сечение или опора находятся в пределах верхнего второстепенного элемента, то ЛВ строится как для простой балки (табличная) и располагается в пределах длины этого элемента. Ниже расположенные элементы не оказывают влияние на верхние.

В этом случае на поэтажной схеме находим ту балку, для сечения которой требуется построить искомую ЛВ. График (табличный) для этой балки переносим с рис. 4. Если в искомой балке какая-то консоль (или обе консоли) отсутствует, то

ив табличной ЛВ консоль (или обе консоли) нужно отбросить.

2)Если рассматриваемое сечение или опора располагаются на основной или передаточной балке, то

а) ЛВ в пределах длины этого элемента строится как для простой балки.

б) На выше расположенных элементах (по отношению к искомой балке) рас-

сматривают движение груза F 1 , зная из анализа уравнений равновесия, что:

17

-в земных опорах ЛВ проходят через ноль (нулевая точка), а на консолях левые и правые ветви ЛВ имеют продолжения;

-в шарнирах ЛВ имеют перелом.

г) Движение груза F 1 по балкам, лежащим ниже искомой, не рассматриваем, так как нагрузка, приложенная к ним, не вызывает усилий в верхних этажах, т.е. искомая ЛВ на этих участках будет нулевой.

Ординаты ЛВ определяются из соотношения сторон подобных треугольни-

ков.

Рис. 4. Линии влияния в однопролётной балке (табличные)

18

2.5.3. Построение ЛВ опорных реакций

а) Линия влияния опорной реакции RE. (рис. 5, г) Рассмотрим вначале движе-

ние груза F 1 по балке DEG, которой принадлежит опора RE. При этом второстепенная балка CD не загружена и не влияет на работу балки DEG. Тогда участок D’E’G’ линии влияния RE, соответствующий передвижению груза F 1 по балке DEG, ничем не будет отличаться от линии влияния реакции отдельно стоящей простой балки (рис. 4, в) с отброшенной правой консолью. При положении груза

F 1 в точке D: RE = 6/5 = 1,2.

При движении груза F 1 по балке CD на балку DEG в точке D передается усилие R’D. Поскольку значение реакции RE от единичной силы, приложенной в точке D, составляет 1,2, то от силы R’D будем иметь RE = 1,2 RD.

Значение RD, как опорной реакции, меняется по линейному закону. Следовательно, и RE при движении F 1 по балке СD меняется по закону прямой, соединяющей узловые ординаты (рис. 5, г):

При движении груза F 1 по основной балке АВC усилие на вышележащую балку СD, а следовательно и на балку DЕG, не передается. Все усилия в балке DЕG при движении груза по участку АВC равны нулю и RE = 0. Соответствующий участок А’В’C’ линии влияния совпадает с осью абсцисс (рис. 5, г).

б) Линия влияния опорной реакции RА (рис. 5, д). Построение начинаем с бал-

ки АВС, которой принадлежит рассматриваемая опора А. При движении груза F 1 по балке АВС второстепенная балка СD не загружена и не влияет на работу балки АВС. Тогда участок A’В’C’ линии влияния RA имеет тот же вид, что и линия влияния реакции RA отдельно стоящей простой балки (рис. 4, в). При положении груза F 1 в точке C: RE = – 2/3 = – 0,667.

При движении груза F 1 по балке CD на балку АВС в точке С передается усилие R’C. Значение реакции RA от единичной силы, приложенной в точке С, равно – 0,667. Следовательно, значение реакции RA от силы R’C составит:

RА = – 0,667∙ RС .Так как значение опорной реакции RC при движении F 1 по балке СD меняется по линейному закону, то и реакция RА при этом будет меняться по закону прямой, соединяющей узловые ординаты (рис. 5, д):

19

- при положении груза F 1 в точке С: RA = – 0,667; - при положении груза F 1 в точке D: RA = 0.

При движении груза F 1 по основной балке DЕG усилие на вышележащую балку СD, а следовательно и на балку АВC, не передается и RA = 0. Соответствующий участок D’E’G’ линии влияния совпадает с осью абсцисс (рис. 5, д).

20