1.6. Условная вероятность.

Вероятность наступления события Апри условии, чтоВпроизошло, называетсяусловной вероятностью А при условии В:

, где.(11)

6. Независимость событий

События А и В называются независимыми, если выполнено равенство:

(12)

1.7. Формула умножения вероятностей

Если то

;-

формулы следуют из определения условной вероятности (формулы (11)).

Аналогичную формулу можно получить для набора случайных событий :

. (13)

Она верна, если , в этом случае все условные вероятности определены.

1.8. Вероятность суммы совместных событий

Пусть А и В - два совместных события. Проведём серию n испытаний, в котором событие А наступило m раз, событие В - k раз, событие AB - l раз (рис.1).

Рис.1.

, , ,

,

. (14)

1.9. Формула полной вероятности

Если события образуют полную группу событий и , то для любого события А имеет место формула

, (15)

где события называются гипотезами.

1.10. Формула Байеса

Если события образует полную группу событий, то для любого событияА, для которого Р(А)0, справедлива формула:.

- (16)

Формула Байеса используется в ситуации, когда эксперимент уже проведён, событие А наступило, и требуется переоценить шансы наступления гипотез, т.е. найти условные вероятности. Эти вероятности называются апостериорными (послеопытными), а гипотезы, которые рассматриваются до эксперимента – априорными (доопытными), при этом:

; .

1.11. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли

Во многих прикладных задачах случайный эксперимент состоит из цепочки повторяющихся испытаний в сходных условиях. Результаты предшествующего испытания не оказывают влияния на последующие. В простейшем случае каждое испытание может закончиться одним из двух возможных исходов, и вероятность этих исходов постоянна. Проведём эксперимент, один из возможных исходов которого назовем успехом – У, а второй – неудачей – Н: р и q – известны, постоянны для вех испытаний и р+q=1. Эксперимент состоит из n таких независимых испытаний.

Пусть – событие, состоящее в появленииk успехов в серии из n испытаний, тогда вероятность этого события можно вычислить по формуле:

- (17)

- формула Бернулли.

Если событие В состоит в том, что число успехов наступит не менее k₁ и не более k₂ раз в серии из n испытаний, то справедлива формула:

. (18)

Пример14. Найти вероятность того, что в серии из 5 подбрасываний монеты герб выпадет ровно 2 раза.

► «Успех» (У) – выпадение герба,«неудача» (Н) – выпадение решки,следовательно, по формуле (18):

9