К лабораторной работе 2.

Оценка статистических показателей.

Принципы и методы, положенные в основу обработки резуль­татов измерений и их оценки, применимы главным образом к слу­чайным погрешностям.

Для оценки возможной погрешности измерений не­обходимо знать закономерности появления случайных погрешностей. При большом числе измерений их значе­ния, как правило, распределяются по закону Гаусса: по­грешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений; вероятность (частота) появления погрешнос­тей, равных по значению и обратных по знаку, одинако­ва; большие по абсолютному значению погрешности встречаются реже малых; средняя арифметическая по­грешность стремится к нулю при увеличении числа из­мерений.

При измерениях необходимо учитывать, что:

среднее арифметическое из случайных погрешностей измере­ний одной и той же физической величины, произведенных при одинаковых условиях, приближается к нулю при возрастании чис­ла измерений;

чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений, одинаковых по точности;

по абсолютной величине случайные погрешности практически не могут превосходить определенного предела, величина которо­го зависит от условий измерений и их точности.

Перечисленные особенности случайных погрешностей с оче­видностью проявляются только статистически, т. е. при довольно большом числе измерений, но их учитывают и при малом числе измерений, хотя в этом случае они не столь очевидны.

В качестве наилучшего (более надежного) значения истин­ной физической величины принимают среднее арифметическое из результатов измерений

, (3)

где п — количество измерений одной и той же величины.

Мерой точности измерении служит среднее квадратическое от­клонение S

, (4)

где Δ_i — абсолютные погрешности.

Если неизвестно номинальное или действительное значение из­меряемой величины, среднее квадратическое отклонение определя­ют по формуле

, (5)

где _i — разность между измеренные значением физической ве­личины x_i и средним арифметическим .

. (6)

Всегда имеет место равенство , которое используется для контроля вычислений среднего арифметического.

При увеличении числа измерений среднее квадратическое от­клонение стремится к своему статистическому пределу , называ­емому стандартом распределения погрешностей.

Оценка грубых погрешностей.

Одной из разновидностей случайных погрешностей являются грубые ошибки, значительно превосходящие как случайные, так и систематические погрешности. Они приводят к явному браку, и их отсутствие в измерениях и вычислениях должно быть пол­ностью гарантировано путем обязательного повторения измере­ний.

Грубыми назы­вают погрешности, явно превышающие по своему значению погрешности, оправданные условиями проведения эксперимента. Если исполнитель в процессе измерений обнаруживает, что результат одного из наблюдений резко отличается от других, и находит причины этого, то он может отбросить этот результат и провести повторные из­мерения.

Особенно остро ставится вопрос об устранении грубых по­грешностей при обработке уже имеющегося материала, когда не­возможно учесть все обстоятельства, при которых проводили из­мерения. В этом случае приходится прибегать к чисто статисти­ческим методам.

Вопрос о том, содержит ли данный результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки ста­тистических гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения x_i не содержит грубой погрешности, т. е. является од­ним из значений случайной величины Х с законом распределения F_X(x), статистические оценки параметров которого предвари­тельно определены. Сомнительным может быть в первую очередь лишь наибольший x_mах или наименьший x_min из результатов наблюдений. Поэтому для проверки гипотезы следует воспользо­ваться распределениями величин

или .

Функции их распределения определяют методами теории вероят­ностей. Они совпадают между собой и для нормального распреде­ления результатов наблюдений табулированы и представлены в табл. 1 Приложения. По данным этой таблицы, при заданной доверительной вероятности  или уровне значимости q = 1 —  можно для чисел измерения п = 325 найти те наибольшие зна­чения _, которые случайная величина  может еще принять по чисто случайным причинам.

Если вычисленное по опытным данным значение  окажется меньше _, то гипотеза принимается, в противном случае ее сле­дует отвергнуть как противоречащую данным наблюдений. Тогда результат X_mах или соответственно X_min приходится рассматри­вать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей обработке результатов наблюдений.

Пример. При измерении температуры были получены следующие резуль­таты: 20,42; 20,43; 20,40; 20,43; 20,42; 20,43; 20,39; 20,30; 20,40; 20,43; 20,42; 20,41; 20,39; 20,39; 20,40.

Требуется опре­делить, не содержит ли результат восьмого наблюдения t₈ = 20,30° С грубой погрешности.

Вначале обычными способами находим среднее арифметиче­ское и среднее квадратическое отклонение результатов наблюде­ний:

Если принять доверительную вероятность  = 0,95, то из табл. 11 Приложения при п = 15, _0,95 = 2,493 и, поскольку

результат t₈ = 20,30° С содержит грубую погрешность.

Если отбросить этот результат и повторить вычисления, то среднее арифметическое окажется равным , а сред­нее квадратическое отклонение уменьшится до. Рас­чет приведен в последних двух графах таблицы.

К лабораторной работе 3.

Модели обработки данных измерений.

Формирование модели данных является одним из этапов процесса измерения. Модель служит наглядным примером зависимости групп результатов измерений между собой. Для построения моделей в лабораторной работе применяется регрессионный анализ. С его помощью подбираются кривые заданного вида.

Статистическая модель строится путем проверки полученной регрессионной модели статистическими методами.

Ниже приведен пример построения регрессионной модели.

Пример. С помощью метода наименьших квадратов под­берем кривую вида

Y = b_o+b₁x+b₂e^z

к четырем (трехмерным) точкам:

(х₁, z₁, y₁) = (3; 1; 8,2),

(х₂, z₂, y₂) = (20; 3; 60,3),

(х₃, z₃, y₃) = (1; 0; 3,1),

(х₄, z₄, y₄) = (55; 4; 164,3).

Независимыми переменными в данной регрессии являются х и z, зависимой переменной – у. Проверим регрессионное уравнение на значимость и найдем доверительные границы для неизвестного па­раметра β₀ и σ².

Прямая линия содержит нулевую и первую степень х, а при построении прямой линий по методу наименьших квадратов мы используем матрицу Х с двумя столбцами, один из которых составлен из нулевых степеней {x_i}, а другой—из пер­вых степеней {x_i}. При подгонке по экспоненциальной кривой, содержащей константу и член, пропорциональный ряду е^x, возьмем матрицу Х также с двумя столбцами, один из которых со­ставлен из единиц, а второй—из значений {exp x_i}. Для подгонки по кривой примера матрица X должна иметь уже три столбца. Первый, второй и третий столбцы составлены соответ­ственно из единиц, значений {x_i} и значений {exp z_i}. Как обычно, {y_i} образуют вектор-столбец у, а коэффициенты регрессии – трехмерный вектор-столбец b. Итак,

и

Поэтому

и

Нормальные уравнения имеют вид:

4b_o + 79b₁ + 78,40196878b₂ = 235,9, 79b_o + 3435b₁ + 3413,763836b₂ = 10270,2, 78,40196878b_o + 3413,763836b₁ + 3392,775836b₂ = 10207,02384.

Находим: b_o = – 0,001022462, b₁ = 0,293743778 и b₂ =2,712920796, поэтому выравненные значения равны соответственно 8,255; 60,364; 3,006 и 164,275.

В работе необходимо выполнить построение модели по группам данных индивидуального задания.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

	Лабораторная работа № 1.				Дата и Ф.И.О. исполнителя:
	Определение основных метрологических показателей и классификационных признаков (на примере средств измерения линейных величин).
	Цель:	1.Научиться классифицировать с.и.
		2.Определять метрологические свойства.
	Задачи работы:
	1. Выполнить систематизацию предложенных с.и. с помощью электронных и литературных источников
	2. Определить метрологические показатели с.и., используя паспортные характеристики и сами средства
	3. Указать принадлежность составляющей суммарной погрешности соответствующему с.и.
	Систематизация средств измерений						Таблица 1
	Название	Метод измерения	Характер показаний	Принцип действия	Назначение	Вид отсчета	Вид измерения
	Штангенциркуль
	Микрометр
	Микроскоп
	Метрологические характеристики						Таблица 2
	Название	Цена деления, мм	Диапазон, мм	Предел изм-я, мм	Погрешность изм-я, мм	Класс точности	Номер (по паспорту)
	Штангенциркуль
	Микрометр
	Микроскоп
	Вывод:	В ходе работы выполнена классификация с.и. и определены их метрологические характеристики.
		Определены основные составные части измерительных средств:
		ш / циркуль:
		микрометр:
		микроскоп:
	Погрешности измерения			Таблица 3
	Погрешность	Средство измерения
		ШЦ	Микрометр	Микроскоп		В таблице 3 следует распределить составляющие
	инструментальная					суммарной погрешности по логически связанным
	отсчитывания					группам.
	от параллакса					Знаком "+" отметить составляющие погрешности,
	интерполяции					влияющие на точность результата при измерении
	от перекоса					соответствующим с.и.
	внешняя					Знаком "-" отметить составляющие погрешности,
	метода измерения					не характерные для данного с.и.
	систематическая					Обосновать выбор.
	случайная
	грубая
	Вывод:	В ходе работы определили составляющие суммарной погрешности
		для предлагаемых средств измерений.
	Контрольные вопросы:
1.	Какие классификационные группы и признаки средств измерений вы знаете ?
2.	Укажите основные метрологические характеристики и дайте их определения.
3.	Перечислите составные части рассматриваемых в работе средств измерений.
4.	Какие общие группы погрешностей вы знаете ?
5.	Дайте определения для перечисленных в таблице 3 составляющих суммарной погрешности.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Значения  при различных числах измерения n									Таблица 1
n		q=1-			n		q=1-
	0,10	0,05	0,025	0,01		0,10	0,05	0,025	0,01
3	1,406	1,412	1,414	1,414	14	2,297	2,461	2,602	2,759
4	1,645	1,689	1,710	1,723	15	2,326	2,493	2,638	2,808
5	1,731	1,869	1,917	1,955	16	2,354	2,523	2,670	2,837
6	1,894	1,996	2,067	2,130	17	2,380	2,551	2,701	2,871
7	1,974	2,093	2,182	2,265	18	2,404	2,557	2,728	2,903
8	2,041	2,172	2,273	2,374	19	2,426	2,600	2,754	2,932
9	2,097	2,237	2,349	2,464	20	2,447	2,623	2,778	2,959
10	2,146	2,294	2,414	2,540	21	2,467	2,644	2,801	2,984
11	2,190	2,383	2,470	2,606	22	2,486	2,664	2,823	3,008
12	2,229	2,387	2,519	2,663	23	2,504	2,683	2,843	3,030
13	2,264	2,426	2,562	2,714	24	2,520	2,701	2,862	3,051
					25	2,537	2,717	2,880	3,071