metodichni_vkazivki
.pdf
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Державний вищий навчальний заклад «КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
імені ВАДИМА ГЕТЬМАНА»
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА НАВЧАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ
З КУРСУ «ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ»
ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри вищої математики
Протокол №8 від 2.03.2010
Методичні вказівки та навчальні завдання для індивідуальної роботи студентів з курсу «Вища математика для економістів» / Укл.: О. І. Лютий, Т. В. Манжос, О. М. Горохова. — К.: ДВНЗ «КНЕУ імені Вадима Гетьмана», 2010. — 108 с.
Укладачі: О. І. Лютий, канд. техн. наук, доцент Т. В. Манжос, канд. фіз.-мат. наук, ст. викладач О. М. Горохова, асистент
Відповідальний за випуск О. І. Лютий
© КНЕУ, 2010
Навчальне видання
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА НАВЧАЛЬНІ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ
З КУРСУ «ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ»
Укладачі
О. І. Лютий, канд. техн. наук, доцент Т. В. Манжос, канд. фіз.-мат. наук, ст. викладач
О. М. Горохова, асистент
Коректор Є. Піщаль Верстка С. Лозова
Підп. до друку 11.06.10. Зам. № 10-3908
Державний вищий навчальний заклад «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана»
03680, м. Київ, проспект Перемоги, 54/1
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи (серія ДК, № 235 від 07.11.2000)
Тел./факс (044) 537-61-41; тел. (044) 537-61-44 E-mail: publish@kneu.kiev.ua
ВСТУП
У даних методичних вказівках наведено індивідуальні навчальні завдання, які можна використовувати під час самостійного вивчення окремих тем із різних розділів вищої математики студентами першого курсу економічних спеціальностей. Кожному завданню передує план теми, яку треба опрацювати, а також розв’язання подібної задачі.
Перш ніж виконувати індивідуальне завдання, студент повинен законспектувати і вивчити відповідну тему згідно з планом, використовуючи рекомендовану літературу. Всі теоретичні питання теми слід вивчити і конспектувати з доведенням, якщо не відмічено особливо, що дане питання розглядається без доведення (б/д). Якщо під час розв’язання задач виникають труднощі, то рекомендується законспектувати і вивчити розв’язання подібної задачі із відповідної теми. Якщо ж і це не допоможе, тоді необхідно звернутись за консультацією до викладача.
Звітом з індивідуального завдання вважається:
1)правильно розв’язане і акуратно оформлене (на окремих аркушах) індивідуальне завдання;
2)конспект теми самостійного вивчення;
3)знання теоретичних та практичних аспектів теми самостійного вивчення.
3
1. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
ТЕМА 1. ПЕРЕТВОРЕННЯ СИСТЕМИ КООРДИНАТ
1.Паралельне перенесення осей.
2.Поворот осей.
ТЕМА 2. КРИВІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
1.Поняття та загальне рівняння кривих другого порядку.
2.Загальне та нормальне рівняння кола.
3.Канонічне рівняння еліпса та його дослідження.
4.Канонічне рівняння гіперболи та його дослідження. Асимптоти гіперболи.
5.Канонічне рівняння параболи та його дослідження.
ТЕМА 3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ
1.Типи рівнянь прямої на площині.
2.Взаємне розташування прямих на площині.
3.Формула відстані від точки до прямої.
ТЕМА 4. ПРЯМА ТА ПЛОЩИНА В ПРОСТОРІ
1.Типи рівнянь прямої в просторі.
2.Типи рівнянь площини в просторі.
3.Взаємне розташування площини та прямої, двох прямих, двох площин у просторі.
Задача 1.1. Знайти рівняння кола, діаметром якого є відрізок |
OA, якщо O(0;0) , |
A( 6; 2) . |
||||||||||||||||||||||
Розв’язання. Знайдемо координати точки C — центра кола: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
xC |
x |
A |
x |
O |
|
6 0 |
3 ; |
yС |
|
y |
A |
y |
O |
|
2 0 |
1 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
Тоді радіус кола R OC |
( 3) |
2 |
2 |
|
|
10 |
. Рівняння кола з центром у точці |
C( 3; 1) та |
||||||||||||||||
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||
радіусом R 10 матиме такий вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 3) |
2 |
( y |
1) |
2 |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 1.2. Побудувати криву y 2 4y 6x 22 0 . Знайти координати її фокуса.
Розв’язання. Використовуючи операцію виділення повного квадрата у квадратному тричлені, перетворимо рівняння кривої так:
y 2 4y 4 6x 18 0 ;
4
( y 2) |
2 |
6(x |
|
Введемо нові координати:
x |
x 3; |
1 |
y 2, |
y |
|
1 |
|
3)
.
(1.1)
які відповідають новій системі координат |
O1 x1 y1 |
, одержаної з попередньої (старої) |
Oxy |
па- |
ралельним перенесенням за формулами (1.1). Новий початок координат у старій системі має координати O1 (3; 2) .
У новій системі координат рівняння кривої набуде вигляду:
2 |
|
(1.2) |
y1 6x1 . |
|
|
Це рівняння параболи з вершиною в точці O1 , симетричної відносно осі O1 x1 . Порівнюю- |
||
чи рівняння (1.2) з відповідним рівнянням параболи y |
2 |
2 px , отримаємо, що параметр |
|
||
p 3 , а отже, координати фокуса F параболи в системі |
O1 x1 y1 будуть такі: F(1,5; 0) . Вико- |
|
ристовуючи формули (1.1) знаходимо координати фокуса параболи у старій системі координат Oxy :
Отже,
F(4,5; 2)
у системі
Oxy
x x |
3 1,5 3 |
|
1 |
|
|
y y |
|
2 0 2 |
1 |
|
|
(рис. 1).
4,5;
2 .
Задача 1.3. Знайти рівняння дотичних, проведених із будь-якої точки P(x0 ; y0 ) до кола, рівняння якого задано.
Розв’язання. Не обмежуючи загальності задачі, нехай рівняння кола x2 y 2 R2 .
Справді, якщо коло задане загальним рівнянням, то його завжди можна представити у вигляді:
5
(x a) |
2 |
( y b) |
2 |
R |
2 |
, |
|
|
|
|
|||||
потім перейти до нових координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x a |
; |
|
|
|
|
|
y1 |
y b |
, |
|
|
|
|
використовуючи паралельне перенесення осей. Отже, достатньо навчитися знаходити рівняння дотичних із точки P(x0 ; y0 ) до кола з центром в початку координат (рис. 2).
Рівняння дотичних PM та PN будемо шукати у вигляді:
y y |
0 |
|
k(x
x |
0 |
) |
|
|
.
(1.3)
Для знаходження кутового коефіцієнта k скористаємось формулою відстані від точки до прямої:
d
|
Ax |
0 |
By |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
B |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
C
.
(1.4)
Щоб застосувати формулу (1.4), треба рівняння (1.3) переписати у вигляді загального рівняння прямої:
kx y kx0 y0 |
0 . |
(1.5) |
Відстань від центра кола O(0;0) до дотичної PM PN дорівнює радіусу кола R , тому
6
d R
Після перетворень (1.6) отримаємо:
k 0 0 kx |
y |
0 |
||
k |
|
0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
.
(1.6)
|
|
|
|
|
k |
2 |
2 |
|
|
2 |
) |
|
2kx0 y0 |
|
|
2 |
R |
2 |
0 . |
(1.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x0 R |
|
|
|
y0 |
|
|
||||||||||||||||||||
При розв’язуванні квадратного відносно |
k |
рівняння (1.7) можливі такі випадки: |
||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
x0 |
R . Одна із дотичних паралельна осі ординат, |
|
її рівняння |
x R або x R . Рів- |
|||||||||||||||||||||||||||
няння другої дотичної |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(x x |
|
|
). |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2x |
|
|
y |
|
0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
2 |
2 |
R |
2 |
. Точка P(x0 ; y0 ) |
належить колу. Дотична тільки одна, її рівняння |
||||||||||||||||||||||||||
x0 |
y0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
0 |
yy |
0 |
|
R2 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
2 |
2 |
R |
2 |
. Задача не має розв’язків. Точка |
P(x0 ; y0 ) лежить в крузі. |
||||||||||||||||||||||||||
x0 |
y0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
2 |
2 |
R |
2 |
, x0 R . Існують дві дотичні до кола, |
жодна з яких не паралельна осі ор- |
||||||||||||||||||||||||||
x0 |
y0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
динат. Їх рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y y0 |
|
x |
|
|
y |
|
|
R |
|
x |
2 |
y |
2 |
R |
2 |
x x0 . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.4. Дано точки A(x1 ; y1 ) |
|
та |
|
|
B(x2 |
; y2 ) . Знайти рівняння кола, діаметром якого є |
||||||||||||||||||||||||||
відрізок |
AB , а також рівняння дотичних до кола, проведених із точки |
M (x3 ; y3 ) . Числові да- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ні наведено в табл. 1.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 1.5. Побудувати криву |
Ax |
2 |
By |
2 |
Cx Dy E 0 . Знайти координати її фоку- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
сів та ексцентриситет. Числові дані наведено в табл. 1.5.
Задача 1.6. Для забезпечення деякою продукцією споживачів планується побудувати заводи A та B . Необхідно визначити зони тяготіння до них. Для цього потрібно скласти рів-
няння граничної лінії для заводів |
A |
та B . Варіанти розміщення заводів |
A(x1 ; y1 ) , |
B(x2 ; y2 ) , |
|
а також собівартість виробництва |
Pi |
і витрат на перевезення |
Qi ( i 1;2 ) одиниці продукції |
||
наведено в табл. 1.6. |
|
|
|
|
|
Задача 1.7. Трикутник ABC |
задано координатами |
вершин |
A(x1 ; y1 ) , |
B(x2 ; y2 ) , |
|
C(x3 ; y3 ) . Знайти рівняння сторони |
AB , бісектриси AE , медіани BK , висоти AD |
та її дов- |
|||
жину, площу трикутника і кут між бісектрисою та медіаною. Числові дані наведено в табл. 1.7.
7
Задача 1.8.
C(x3 ; y3 ; z3 ) , |
S(x |
між ребрами AS
табл. 1.8.
Піраміду |
ABCS задано координатами вершин A(x1 ; y1 |
; z1 ) , B(x2 ; y2 ; z2 ) , |
4 ; y4 ; z4 ) . |
Знайти площу грані ABC , довжину висоти SO |
та її рівняння, кут |
і BC , рівняння грані |
ASB |
та рівняння ребра AC . Числові дані наведено у |
2. ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО ДОС-
ЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
ТЕМА 1. ЕКСТРЕМУМИ ТА МОНОТОННІСТЬ ФУНКЦІЇ
1.Умова сталості функції на проміжку.
2.Необхідна та достатня умова монотонності функції на проміжку.
3.Поняття екстремуму функції, необхідна умова його існування.
4.Достатні умови існування екстремуму (за першою та другою похідною).
ТЕМА 2. ОПУКЛІСТЬ ТА ВГНУТІСТЬ ФУНКЦІЇ. ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ
1.Поняття опуклості та вгнутості функції. Достатня умова опуклості та вгнутості функції на проміжку.
2.Поняття точок перегину, необхідна та достатня умова їх існування.
ТЕМА 3. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ПОБУДОВА ЇХ ГРАФІКІВ
1.Асимптоти функції (вертикальні, горизонтальні, похилі).
2.Загальна схема дослідження графіка функції.
3.Знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку.
ТЕМА 4. ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
УЗАДАЧАХ ЕКОНОМІЧНОГО ЗМІСТУ
1.Функції пропозиції та попиту.
2.Закон спадної ефективності виробництва.
3.Оптимальний обсяг випуску продукції фірми.
8
Задача 2.1. Дослідити функцію та побудувати її графік:
|
x |
3 |
|
y |
|
||
x 2 |
|||
|
|||
.
Розв’язання 1. Встановлення загальних властивостей функції: область визначення, парність, непарність, періодичність, точки перетину з осями координат.
Область визначення функції D( y) ( ;0] (2; ) .
y 0
при
x 0
y(
|
( x) |
3 |
|
x |
3 |
|
|
x) |
|
|
|
y(x) |
|
||
x |
|
x |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
|||
функція ні парна, ні непарна. |
|||||||
графік функції проходить через початок координат.
2. Дослідження функції за допомогою границь: визначення інтервалів неперервності функції та класифікація точок розриву; знаходження рівнянь горизонтальних та похилих асимптот; визначення поведінки функції на нескінченності; знаходження множини значень функції.
|
|
x |
3 |
|
|
Функція |
y |
|
— елементарна й, отже, вона неперервна в кожному із відкритих ін- |
||
x |
|||||
|
|
2 |
|||
тервалів області визначення. Функція не існує на проміжку |
x (0; 2] |
. За допомогою однос- |
торонніх границь проведемо дослідження поведінки функції у межових скінчених точках області визначення, тобто в точках x 0 та x 2 .
lim y x 0
=
|
x |
3 |
|
|
lim |
|
0 |
||
x |
||||
x 0 |
2 |
|||
та
точка (0, 0) — межова точка графіка функції зверху).
(графік функції підходить до цієї точки зліва
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
lim y |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
x 2 0 |
|
x 2 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 2 — рівняння вертикальної асимптоти функції (графік функції наближається до неї |
|||||||||||||||
справа та знизу вгору). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||
k lim |
y |
|
= |
lim |
1 |
|
|
= lim |
x |
|
1; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
x x |
|
x x |
|
x 2 |
|
x |
x 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
||
b lim ( y k x) = lim |
|
|
x |
|||||
|
|
|||||||
1 |
x |
1 |
x |
x 2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x2 |
|
|
x3 x3 2x2 |
|
|||||||
lim |
|
x |
2 |
lim |
|
|
|
x 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
x |
|
x |
|
|
x |
x |
|
|
x |
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
||||||||||
Отже, y x 1 — рівняння правої похилої асимптоти.
=
1 .
9