metodichni_vkazivki

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Киевский национальный экономический университет им. В. Гетьмана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Модель 1. Потрібно знайти максимальний очікуваний дохід Emax

при обмеженні на зага-

льний об’єм інвестицій x

K , x 0 , x

Модель 2. Потрібно знайти максимальний очікуваний дохід Emax

при обмеженнях, які ви-

.pdf

Скачиваний:

245

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

3.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

називається кривою доходів. При цьому D(t) exp ti (t) .

Задача 3.9. Для відсоткової ставки

i(t) (1 t)		1	i	t(1 t)

			1
визначити криву доходів і розмір рахунку	D(t) . Значення

2	i
	i
	2

i	, i	2
1		2

— задано в табл. 3.9.

		a,0 t
Задача 3.10.				— інтенсивність відсотка.
Задача 3.10.	Нехай (t) bt, t			— інтенсивність відсотка.
		2	, t
	ct dt		, t

Знайти (t)

момент часу t2

Параметри

exp
exp

b, c, d

(

	— дисконтну функцію і вартість у момент часу
s)ds	— дисконтну функцію і вартість у момент часу

		t	2		(t		)
V (t1 ,t2 ) C exp				(s)ds C		2		.
V (t1 ,t2 ) C exp				(s)ds C	(t			.
			1				)
		t					)
						1
, t1, t2 , C	задано в табл. 3.10.

суми С на

4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

ТЕМА 1. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕОДНОРІДНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

1.Метод варіації довільної сталої.

2.Метод Бернуллі.

ТЕМА 2. НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

1.Метод Ейлера.

2.Метод Рунге—Кутта.

Задача 4.1. Знайти наближений розв’язок рівняння:


y	f (x, y)		(4.1)

на проміжку x0 ;b , що задовольняє початковій умові		y(x0 ) y0 .

Розв’язання. Для знаходження розв’язку рівняння (4.1) застосуємо метод Ейлера. Відрі-

зок x0 ;b розіб’ємо точками

x x

... x

n 1

на n рівних частин, довжина кожної з яких x h

b x0

Нехай y (x) — деякий розв’язок рівняння (4.1) та

y0 (x0 ) . Введемо такі позначення:

y1 (x1 ),

(x2 ), ...,

(xn ) ;

(4.2)

y	0	y	y	,
	0	1	0

y	2

y	,
1

...,

y	n 1	y	n
	n 1		n

y	n 1

(4.3)

У кожній із точок			x0 ,	x1 ,	x2 ,...,	xn похідну з рівняння
ченням: y	y	. Тоді з (4.1) отримаємо
	x


					y	f (x, y)	або y f (x,
					x	f (x, y)	або y f (x,
					x

(4.1)

y) x .

замінимо наближеним її зна-

(4.4)

При

або

x x			0

y	0	f

(

використовуючи (4.4), дістанемо:

x0 , y0 )h . Аналогічно при

x x1 ,

x x2

,...,

f (x

, y

)h;

f (x

, y

)h;

...

n 1

f (x

n 1

, y

n 1

)h.

(x	0	, y	0

x x	n

) x	y	y
	1	0

з (4.4) відповідно

f (x0 , y0 )h ,

отримаємо:

(4.5)

Одержані дані (4.5) задають табличним	способом шукану інтегральну криву. З’єднавши
на координатній площині точки M i (xi , yi ) ,	i 0, n , дістанемо ламану лінію, яка буде набли-

женим графіком функції, що є розв’язком даного диференціального рівняння. Якщо ж скористатися методом Рунге—Кутта, то дані, аналогічні (4.5), можна знайти за формулою

Задача 4.2. Для

i 1	y	i

x 0;1

b	f (x	, y	) f (x		h,
				i
2	i	i

знайти наближений

y	i	h f (x	i

розв’язок

, yi )) .

диференціального

(4.6)

рівняння

dy	Axye	bx			0			c , використовуючи методи Ей-
		y	, що задовольняє початкову умову	x0		,	y0
dx

лера та Рунге—Кутта ( h 0,1). На координатній площині побудувати наближені графіки інтегральних кривих, знайдених цими методами. Числові дані наведено в табл. 4.2.

Задача 4.3. Підприємство виробляє потрібну для держави продукцію. На підприємстві відбувається зношування обладнання і саме підприємство не вкладає виручені кошти в себе, грошові вкладення робить лише банк. Тоді кількість виготовленої в момент часу t продукції y(t) в грошовому еквіваленті описується рівнянням:

y (t) k(t, y) y(t) u(t, y) ,

де k(t, y) — коефіцієнт вибування фондів (зношення обладнання), u(t, y) — потік капіталовкладень у момент часу t .

Знайти функцію динаміки виробництва y(t) при t 0 , y(t0 ) y0 . Числові дані наведено в табл. 4.3.

Задача 4.4. Національний дохід розділений на дві частини: накопичення основних ви-

робничих фондів

kdy dt

і вжиток c(t) (невиробничий вжиток, приріст матеріальних оборотних

коштів, державних матеріальних резервів). За допомогою наступної моделі економічної динаміки знайти функцію динаміки національного доходу y(t) при t 0 , y(t0 ) y0 :

y ky c(t) ,

де

— коефіцієнт капіталоємності національного доходу, тобто відношення виробничого

накопичення до приросту національного доходу. Числові дані для c(t) ,	t0	,	y0	наведено в
табл. 4.4, коефіцієнт k — порядковий номер студента в журналі групи.

5. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

ТЕМА 1. ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

1.Теорема Кронекера—Капеллі.

2.Знаходження загального та базисного розв’язків методом Жордана—Гауса.

ТЕМА 2. МОДЕЛЬ ЛЄОНТЬЄВА БАГАТОГАЛУЗЕВОЇ ЕКОНОМІКИ

1.Дії над матрицями.

2.Обернена матриця.

3.Модель Лєонтьєва (балансовий аналіз) (див. [5]).

Задача 5.1. У таблиці наведено дані про виконання балансу за звітний період, ум. гр. од.:

	Галузь		Вжиток		Кінцевий продукт

		Енергетика		Машино-будування
		Енергетика		Машино-будування

Виробництво	Енергетика	9		25	91

	Машинобудування	16		20	164
	Машинобудування	16		20	164

Обчислити необхідний об’єм валового випуску кожної галузі, якщо кінцевий продукт енергетичної галузі збільшиться вдвічі, а машинобудування в 1,5 разу. Знайти міжгалузеві поставки що забезпечують такий асортимент випуску кінцевої продукції.

Розв’язання. Маємо

x11 9

x12 25

x21 16

x22 20

;

164

. Обчислимо

об’єм валового продукту, випущеного кожною галуззю. Валовий випуск енергетичної галузі за звітний період

x1	x11	x12	y1	125 ,
машинобудування:
x2	x21	x22	y2	200 .

Знайдемо коефіцієнти прямих витрат, що показують витрати продукції i -ї галузі на виробництво одиниці продукції j -ї галузі, за формулою:

Таким чином: a	0,072	, a
11		12

Отже, матриця прямих витрат

aij		x	ij	, i, j 1,2 .
			ij
		x
		x	j
			j
0,125 ,	a21 0,128 ,					a22 0,1.
A		0,072			0,125
A
		0,128			0,1
		0,128			0,1

задовольняє критерію продуктивності:

max{0,072 0,128; 0,125 0,1} max{0,2; 0,225} 0,225 1.

Тому для будь-якого вектора кінцевої продукції

вого випуску	X	за формулою:
		X (E A)	1
		X (E A)

можна знайти необхідний об’єм вало-

Знайдемо матрицю повних витрат

	0,928	0,125
E A			.
	0,128	0,9
	0,128	0,9
Оскільки	E A 0,8192 0			,

A)	1

то

(E A) 1	1	0,9
(E A) 1
	0,8192	0,128
	0,8192	0,128

0,125

0,928

За умовою вектор кінцевого продукту

182

	246
	246

. Тоді отримаємо вектор валового випуску:

X	1	0,9
X
	0,8192	0,128
	0,8192	0,128

0,125 182

0,928		246
0,928		246

	237,5

	307,1
	307,1

тобто валовий випуск в енергетичній галузі треба збільшити до 237,5 ум. гр. од., а в машинобудівній — до 307,1 ум. гр. од.

Скориставшись формулою

x	ij

a	ij	x	j

, отримаємо міжгалузеві поставки що забезпечують

такий асортимент випуску кінцевої продукції:

	Галузь		Вжиток		Кінцевий продукт

		Енергетика		Машинобудування
		Енергетика		Машинобудування

Виробництво	Енергетика	17,1		38,4	182

	Машинобудування	30,4		30,7	246
	Машинобудування	30,4		30,7	246

Задача 5.2. Елементи матриці A aij задають витрати і-го виду сировини на виробни-

цтво j-го виду продукції. Знайти план виробництва	X (x1 , x2 , x3 , x4 ) , при якому кількість
невикористаної сировини буде найменша, якщо	запаси сировини задані матрицею
B (b1 ,b2 ,b3 ,b4 ) . Числові дані наведено у табл. 5.2.

Задача 5.3. Економіка умовно розділена на 4 сектори: 1 — галузі, які виробляють засоби виробництва (гр. А), 2 — галузі, які виробляють предмети вжитку (гр. Б), 3 — сільське господарство, 4 — інші галузі. Міжгалузеві потоки в попередньому плановому періоді наведені в таблиці:

Галузь			Галузі споживання			Кінцевий продукт
Галузь		Гр. А	Гр. Б	с/г	інші	Кінцевий продукт
		Гр. А	Гр. Б	с/г	інші

	Гр. А	4a	2b	3c	4d	e

Галузі виробництва	Гр. Б	a	4b	2c	3d	f

	с/г	2a	b	2c	2d	g
	с/г	2a	b	2c	2d	g

	інші	4a	2b	5c	d	h

Завдання:

1)порахувати об’єм валового продукту, випущеного кожною галуззю;

2)скласти матрицю коефіцієнтів прямих витрат ( A );

3)перевірити матрицю A на продуктивність, що гарантує існування розв’язку основної задачі міжгалузевого балансу;

4)скласти матрицю коефіцієнтів повних витрат (

A* (E

A)	1

);

5)скласти матрицю коефіцієнтів непрямих витрат ( A A* A );

6)знайти валовий випуск кожної галузі для двох варіантів плану випуску кінцевої продукції: а) збільшити випуск кінцевої продукції кожної галузі в 1,5 разу; б) збільшити випуск кінцевої продукції 1-ої галузі на 14 %, 2-ої на 6 %, 3-ї на 8 %, 4-ї на 20 %;

7)обчислити міжгалузеві поставки, що забезпечують асортимент випуску кінцевої продукції по варіанту б).

Числові дані наведено у табл. 5.3.

6. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

ТЕМА 1. ЗАДАЧА ПРО НАЙБІЛЬШЕ ТА НАЙМЕНШЕ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ В ЗАКРИТІЙ ОБЛАСТІ

ТЕМА 2. МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

Задача 6.1. Інвестиційна фірма може вкласти капітал К у наступному інвестиційному

періоді в цінні папери двох видів, потрібно визначити відповідні долі вкладень. Нехай	xi	—
величина капіталу, який вкладено в цінні папери виду i , i 1,2 . Тоді на змінні x1 ,	x2	на-

кладаються наступні обмеження:

x		x
1
x1	0		,

2

	x	2

;

Нехай фірма має статистичні дані про дохідність від вкладень для кожного виду цінних паперів за певний час. Середній дохід портфеля цінних паперів визначається так:

де

	E(x) = 1 x1 2 x2 ,
i	— середній дохід від цінних паперів виду i , i 1,2 .

Міра інвестиційного ризику портфеля цінних паперів:

	2	x2	2	2 x1 x2 ,
	V (x) x1	x2		2 x1 x2 ,
де ,	— величини відхилення доходності відповідного виду паперів від її середнього зна-
чення,	— оцінка інвестиційного ризику для			пари видів паперів (якщо вони взаємо-

пов’язані).

Розглянемо три моделі знаходження оптимального портфеля цінних паперів.

значає політика фірми. Нехай перша група паперів має низький ризик, друга група — високий. Тоді обмеження:

x1 x2 K , x1 b1 K , x2 b2 K , x1 0 , x2 0 ,

де b1 – мінімальна доля вкладень в папери першого виду, b2 – максимальна доля вкладень у папери другого виду.

Модель 3. Нехай фірма зацікавлена в отриманні заданого очікуваного доходу R при міні-

мальному ризику. Потрібно знайти Vmin				при наступних обмеженнях:
			E(x) 1 x1 2 x2 R ,
				x1 x2	K ,
				x1 0 ,	x2 0 .
				Завдання
	Згідно з даними в табл. 6.1:
1)		сформулювати задачу за моделлю 1 і знайти максимальне значення					E* E(x*) ;
2)		сформулювати задачу за моделлю 2 і знайти максимальне значення					E* E(x*) ;
3)		сформулювати задачу за моделлю 3. Знайти мінімальне значення V* V (x*) .
	Записати отримані результати в таблицю:

	Тип моделі		х1*	х2*		Е(х*)		V(x*)

		1

		2

		3

Порівняти отримані розв’язки по величині отриманого доходу та інвестиційного ризику. Задача 6.2. На підставі даних про продуктивність праці робітника Y ( y1 ; y2 ; y3 ; y4 ; y5 )

за певну годину X (x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 ) знайти залежність між змінними y та x за допомогою

методу найменших квадратів. Визначити обсяг продукції, яка буде вироблена за 8 годин роботи безпосереднім інтегруванням функції y(x) . Наближено обчислити цей визначений інтеграл за формулами прямокутників, трапецій та Сімпсона. Числові дані наведено в табл. 6.2.

Оптимальний розподіл ресурсів [4]

Задача 6.3. Знайти оптимальний розподіл ресурсів знаючи функцію випуску	u a0 xy	2	у

припущенні, що функція витрат на ресурси має вид: C(x, y) p1 x p2 y , де p1 , p2	— ціни на
фактори виробництва відповідно.

Розв’язання. Задача зводиться до знаходження відношення для оптимального розподілу ресурсів з умови дотику ліній рівня функцій випуску і витрат.

У точці (x0 , y0 ) оптимального розподілу ресурсів лінії рівня функції випуску і витрат дотикаються. Ці лінії визначаються рівняннями:

a0 xy

де C 0, A 0 — сталі,

2	C ,

b C a0

p x p		y A
1	2

або

	y	b
	y	x
		x

	p
y	1	x
	p2
	p2

A
p	2



Умова дотику цих ліній визначається рівнянням


				p		2
			1	p		3
			1
		b			2
Отже,	x0		3		2	. Тоді з рівняння лінії
Отже,	x0			2 p		. Тоді з рівняння лінії
				2 p
					1

b x

рівня

p		.
	1

p	2

функції випуску визначаємо

2 p

. Таким чином, оптимальний розподіл ресурсів

повинен визнача-

тися як відношення цін

на ці ресурси.

2 p

Знаходження функцій попиту [4]

Нехай функція корисності u u(x, y) при довільних додатних цінах на товари X і Y відпо-

відно px , py

та доходу

на множині D px x py y R, x 0, y 0 має єдину точку максиму-

му (x

, y

) . Тоді функції

qx ( px , py , R) і

qy ( px , py , R) називаються функціями попиту.

Зміст даного означення полягає в тому, що споживач прагне до найбільшого задоволення від куплених ним товарів при обмежених коштах.

Задача зводиться до знаходження умовного екстремуму функції корисності при умовах px x py y R, x 0, y 0 . Для цього записується функція Лагранжа:

L(x, y, 1, 2 , 3 ) u(x, y) 1 (R px x py y) 2 x 3 y .

Потім перевіряються необхідні умови умовного екстремуму за стандартною схемою. Враховуючи, те що функція попиту не перетворюється в нуль і справедлива хоча б одна з не-

рівностей

(x, y) 0

(x, y) 0 , приходимо до системи:

, uy

;

x p

y R.

З цієї системи знаходимо функції попиту.

Задача 6.4. Знайти функції попиту	qx , qy
u(x, y) ln x ln y ln(x y) .

Розв’язання.

Знаходимо частинні похідні першого порядку функції

		y		,						x

ux					uy				y(x
	x(x y)								y(x
Складаємо систему рівнянь:	u
	u			y	2			p
					2
		x							x	;
				x				p		;
	u			x	2			p
					2
		y							y
		p	x p				y R.
		p	x p			y	y R.
		x				y

у випадку функції корисності

u(x, y) :

. y)

Знаходимо другі частинні похідні функції u(x,

uxx

uyy

(uxy )

В області

x 0, y 0

0 ,

, uyy

функцію попиту:

px py

y) :

1
	2
x		(x

xy(x y)2

(u )		2
		2
	xy
		R

p	y		p
	y

1				,
y)
			2
.
0		. Крім того
	p		.
x			y

u x

. Тому маємо

Якщо в даному прикладі для визначеності взяти значення доходу R 100 грошових одиниць, то дістанемо функцію попиту:

		q	( p	x
		x		x
Якщо зафіксувати	R 100	і покласти

q	x	(
	x

Задача 6.5. Знайти функції попиту функції u(x, y) , що задається табл. 6.5.

, p		y	)

p	y	9

p	x	)

q	x	, q	y

		100				.
p			p		p
	x			x		y

, то функція попиту

		100		.
p		3	p
	x			x

	при		R 100		у випадку функції корисності

7. РЯДИ

ТЕМА 1. ЧИСЛОВІ РЯДИ

1.Ознаки збіжності рядів з додатними членами.

2.Збіжність рядів зі знакозмінними членами.

ТЕМА 2. ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

1.Область збіжності функціонального ряду.

2.Розклад функцій у степеневі ряди.

3.Застосування рядів у наближених обчисленнях.

		( 1)	n 1	n	n
Задача 7.1.	Дослідити на збіжність знакозмінний ряд	( 1)		n	.
Задача 7.1.	Дослідити на збіжність знакозмінний ряд	(2n)!			.
	n 1	(2n)!
	n 1

Розв’язання. Дослідимо даний знакозмінний ряд на абсолютну збіжність. Для цього

складемо ряд із модулів членів даного ряду:

(n 1)

n 1

(2n)!

n 1

ламбера:

lim

(2n 2)!n



n 1

1 n

n		n
n			. Застосуємо до цього ряду ознаку Да-
			. Застосуємо до цього ряду ознаку Да-
(2n)!
	n		1
	n
				0	1. Ряд із модулів збіга-

			2(2n 1)
			2(2n 1)

ється. Отже, даний знакозмінний ряд збігається абсолютно.

Задача 7.2. Знайти область збіжності ряду 1

n 1

Розв’язання. Зазначимо, що функціональний ряд

an f (x)

називається узагальне-

n 0

ним степеневим. Підстановка

f (x) y зводить його до вигляду

an y

. Якщо

y R —

n 0

область збіжності ряду an y

, то для знаходження області збіжності початкового ряду тре-

n 0

ба розв’язати нерівність f (x)

R відносно x .

Даний у задачі ряд є узагальненим степеневим. Покладемо e x y . Отримаємо степене-

вий ряд

з радіусом збіжності

R lim

e .

lim 1

У граничній точці y e

якого	n				e			1
		n a	n		e

						1	n


				1
				1
						n

				1	n2
						n
						n
даний ряд набуває вигляду 1					e		, і оскільки для будь-
даний ряд набуває вигляду 1					e		, і оскільки для будь-
			n 1	n
і	an	1	, то цей ряд розбіжний, так як не виконується необхідна

умова збіжності.


			1		n2


Оскільки y e x 0 , то областю збіжності ряду 1				y n		буде множина чисел y,
Оскільки y e x 0 , то областю збіжності ряду 1				y n		буде множина чисел y,
	n 1		n
що задовольняють нерівність 0 y e . Звідси	0 e x	e ,	x 1 і, остаточно,				x 1.

Остання нерівність і визначає область збіжності даного ряду.

	1		cos x
	2	1
Задача 7.3. Обчислити		1			dx	з точністю до 0,0001.
			x	2

	0
	0
Розв’язання. Замінивши в підінтегральному виразі							cos x

ряд, отримаємо:

його розкладом у степеневий

															x	2		x	4		x	6
	1									1		1 1			x			x			x
		2		cos x							2	1 1

			1												2!			4!			6!
			1					dx							2!			4!			6!
				x		2		dx									x	2
	0			x						0							x
	0									0
					3				5				1	2
1				x	3			x	5					2	1					1
1	x			x				x							1					1
	x									...													3
2!				4! 3			6! 5								2! 2			4! 3 2					3
2!				4! 3			6! 5						0		2! 2			4! 3 2
													0

...		1	2	1
		1
	dx

					2!
		0			2!
	1		...
	6! 5 2	5	...
		5

x	2	x	4
	2		4
				... dx
4!		6!
4!		6!
0,25 0,0017

0,2483

оскільки

0,0001


Задача 7.4. За даними табл. 7.4 дослідити збіжність ряду f (n)	(для знакозмінного
n 1
ряду встановити, якою є його збіжність — абсолютною чи умовною).

Задача 7.5. За даними табл. 7.5 знайти область збіжності функціонального ряду F (x; n) .
	n 1

Задача 7.6. За даними табл. 7.6 записати перші n членів розкладу функції Тейлора за степенями x c .

f (x)

у ряд

Задача 7.7. Обчислити наближено з точністю до 0,0001 значення виразу, заданого в табл. 7.7.

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.08.2019106.5 Кб0metoda_praktika_for_print_3_kurs_Trunina_Koml.doc
#
17.12.20181.8 Mб12Metodichka_Word.doc
#
17.08.20191.48 Mб2Metodichne_zabezpechennya_treningu-1.doc
#
07.11.2018249.34 Кб2metodichni_matkonstitutsiyne.doc
#
22.03.2015651.26 Кб11Metodichni_Rekomendatsiyi_Magisterskoyi.doc
#
22.03.20153.78 Mб245metodichni_vkazivki.pdf
#
26.08.2019106.5 Кб1Metodichni_vkazivki_KP_SPPR_08022012-1.doc
#
12.09.2019386.56 Кб2Metodika.doc
#
17.11.201958.47 Кб2METODIKA.docx
#
22.03.2015599.55 Кб28Metod_20mat_20audit_2013l_6509.doc
#
14.04.2019672.77 Кб3metod_anty_kryz_upr_pidpr_1.doc