Модель економічного зростання Роберта Солоу Задача №1.

Стійкий рівень капіталоозброєності— це певний стан рівноваги, що, за моделлю Солоу, визначає економічну динаміку.

Економічна суть його така. Інвестиції в економіці перш за все спрямовуються на компенсацію вибуття (амортизацію) капіталу, для забезпечення простого відтворення. Різниця між розміром валових інвестицій (i) та необхідною амортизацією (k) складає чисті інвестиції, що йдуть на забезпечення екстенсивного економічного зростання (точка k₁). Збільшення капіталу призводить до пропорційного збільшення вибуваючого капіталу, а значить чисті інвестиції прямують до 0. Якщо ж валові інвестиції менші за вибуваючий капітал (точка k₂), то відбувається скорочення обсягів капіталу, зменшення амортизації і відповідно чисті інвестиції прямують до 0. Значення капіталоозброєності, при якому досягається дана рівновага і називається стійким рівнем капіталоозброєності (точка k*).

Роль його в моделі Солоу така, що цей рівень є фактично верхньою межею економічного зростання (яке в даній моделі розглядається саме як зростання капіталоозброєності).

За умовами задачі, функція норми випуску продукції від капіталоозброєності задається у вигляді: , норма заощаджень дорівнює, а норма амортизації. При стійкому рівні капіталоозброєності має місце рівність:. Підставимо дані умови:. Таким чином, стійкий рівень капіталоозброєності досягається при.

Задача №2.

Для того, щоб визначити долю продукту на одного працюючого (y*) нам необхідно спочатку визначити стійкий рівень капіталоозброєності k* (оскільки )

За моделлю Солоу, нарощування капіталу відбувається за умови, що інвестиції () перевищують вибуття капіталу (), тобто:

В точці k*: , отже ми можемо записати цю рівність так:

Поділимо обидві частини на :

Підставимо в цю рівність дані з умови.

Для розвиненої країни ():

Можна було б продовжувати розрахунки, але за умовою , тобто.

Для країни, що розвивається ():

Отже, для країни, що розвивається .

Задача №3.

Графічно вплив скорочення темпу зростання населення на рівень капіталоозброєності можна показати на такому графіку ():

Оскільки темп зростання населення зменшився (кутовий коефіцієнт при k, а саме також зменшився і пряма переходить в пряму, яка нижче нахилена щодо осіOK), при інших незмінних параметрах, відбувається зростання капіталоозброєності.

При цьому відбувається зростання частки виробленого продукту на одного працюючого (приріст не змінився, а кількість населення зростає повільніше).

Задача №4.

Відповідно до "золотого правила" (якому відповідає така норма заощаджень, при якій формується стійка капіталоозброєність, але за умови максимуму споживання, тобто MPK=), для досягнення такої стійкої капіталоозброєності має виконуватись така система рівнянь:

Звідси:

Таким чином, для виконання "золотого правила" рівень капіталоозброєності повинен становити 17,21.

Додаткова задача №1.

Нехай виробнича функція має вигляд: . Норма вибуття капіталу 0,08. Чисельність зайнятих зростає на 2% в рік. Норма заощаджень 25%. Чому дорівнює стійкий рівень капіталоозброєності одиниці праці з постійною ефективністю? Скільки становить стійкий рівень питомого доходу, інвестицій, споживання? Чи відповідає дана норма споживання "золотому правилу"? Якщо ні, то якою вона повинна стати для цього? Чому дорівнює встановлений рівень питомого доходу інвестицій по золотому правилу?

Розв'язок.

Згідно з умовою, маємо виробничу функцію вигляду . Норма вибуття капіталу ,норма заощадження , темп приросту населення .

а) Обрахуємо стійкий рівень капіталоозброєності одиниці праці з постійною ефективністю (t=0). Цей стійкий рівень буде досягатися в точці k* (див. графік до задачі 1). Із моделі Солоу ми знаємо, що .Але в точці k* приріст капіталоозброєності . Тоді:.Підставивши числа із умови задачі, отримаємо: .

Але ж y – це доход на одного працівника, тоді .

Співставивши два отриманих вирази для y, отримаємо:

Таким чином, стійкий рівень капіталоозброєності дорівнює k*=44,194.

б) Стійкий рівень доходу

Стійкий рівень інвестицій

Стійкий рівень споживання =

в) Для того, щоб визначити, чи відповідає дана норма заощадження "золотому правилу", необхідно перш за все знайти розв'язок такої системи рівнянь (яка є наслідком "золотого правила"), тобто знайти :

Підставивши дані з умови та розраховані нами раніше величини, отримаємо:

Із моделі Солоу ми знаємо, що .Але в точці k* (а золоте правило дотримується лише в цих точках) приріст капіталоозброєності . Тоді:.

Звідси норма заощаджень .

Таким чином, для дотримання "золотого правила" норма заощаджень повинна становити 6% (а не 25%, як в умові задачі).