Раздел 6. Плоские электромагнитные волны.

6.1. Общие сведения.

Под волнами подразумевают колебательные движения непрерывных сред. Принципиальные отличия в математическом описании волновых процессов и колебаний токов и напряжений в радиотехнических цепях состоит в том, что для полного описания любой системы достаточно знать конечное число токов и напряжений на различных участках схем. Для полного описания волнового процесса необходимо знать его характеристики в бесконечно большом числе точек в рассматриваемом пространстве. Природа волновых процессов весьма разнообразна: электромагнитные волны, акустические, гравитационные и т. д. Физики полагают, что при распространении любых волн среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате которого происходит распространение энергии в пространстве.

6.2. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной

среде без потерь.

Будем рассматривать свободные (существующие без сторонних источников) гармонические колебания электромагнитного поля в однородной изотропной среде без потерь(). В этом случае для определения характеристик электромагнитного поля удобно воспользоваться однородными уравнениями Гельмгольца относительно векторов электромагнитного поля.

(1)

(2)

-волновое число.

Векторные уравнения (1) и (2) можно записать в виде системы из трех скалярных уравнений:

(3)

(4)

Наиболее просто уравнения (3) и (4) и их решения выглядят в случае плоских электромагнитных волн. Под плоскими волнами подразумевают электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль линейной координаты, в каждый фиксированный момент времени неизменны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Будем полагать, что волна, распространяется вдоль оси Z, т.е. вектор Пойнтинга:

(5)

Из соотношения (5) видно, что вектор Пойнтинга определяется компонентами электромагнитного поля, находящимися в плоскости xOy. В данном случае отсутствуют составляющие поля вдоль оси z. Таким образом, должны выполняться условия:

так как, по определению, поле должно быть неизменно в плоскости распространения волны, то:

(6)

Используя соотношение (6), выражения (3) и (4) можно переписать следующим образом:

(7)

(8)

Решение каждого из уравнений: (9)

(10)

Для того, чтобы не увеличивать количество постоянных интегрирования мы компоненты поля найдем с использованием решений(9), (10) и уравнений Максвелла.

(11)

Используя соотношение (11), получим:

(12)

(13)

Вынося jk за скобки, получим:

(14)

(15)

Получим систему решений:(16)

(17)

(18)

(19),

где , [Ом] — характеристическое сопротивление среды, определяющееся свойствами среды.

Пары (16)-(17) и (18)-(19) образуют вектор Пойнтинга, ориентированный по оси z. Полученные нами, решения представляют собой сумму двух слагаемых (так как решалось дифференциальное уравнение). Уточним физический смысл каждого слагаемого. Для этого в уравнении (16) перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям.

(20)

Аргумент первого слагаемого — (21)

Аргумент второго слагаемого —

Рассмотрим аргументы и слагаемые для t=t₁, z=z₁, т.е. . Дадим приращение времении определим смещение точекэтого волнового процесса с постоянными фазами.

Для того, чтобы оценить это смещение, осуществляем следующие равенства:

(22)

(23)

Приводя подобные члены в соотношениях (22) и (23), получим:

(24)

(25)

Выражая в первом и втором случаях, получаем:

(26)

(27)

Соотношение (26) определяет перемещения фиксированной фазы , а соотношение(27) — , т.е. соотношения(26) и (27) определяют фазовую скорость. Соотношение (26) определяет положительную фазовую скорость. Стало быть, компонента и соответствующая ейсоответствуют плоской волне распространяющейся в положительном направлении оси z. Аналогично и соотношение(27).

Итак, в полученном нами решении (16) первое слагаемое для плоской волны в положительном направлении, второе слагаемое — в отрицательном.

Уточним физический смысл волнового числа k. Волновое число k показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр. Минимальное расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2называется длинной волны (пространственным периодом).

(28)

(29)

Проанализируем полученные решения на примере ,.

В этих общих решениях выделим слагаемые, которые соответствуют волне, распространяющейся в положительном направлении оси z:

(30)

(31)

Перейдем к мгновенным значениям:

(32)

(33)

1. z = const — поверхность равных фаз представляет собой плоскость.

2. поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз (плоская волна однородная).

3. в направлении распространения отсутствуют составляющие поля (плоская, однородная, поперечная).

4. компоненты поля плоской волны взаимноортогональны и перпендикулярны направлению распространения волны.

Между составляющими поля плоской волны существует взаимосвязь.

Определим энергетические характеристики волны:

—объемная плотность электрической энергии.

—объемная плотность магнитной энергии.

Так как среда однородная, изотропная и без потерь,

.

Определим скорость распространения энергии:

.

Уравнение для фазовой скорости: , где.

Тогда в случае среды без потерь: .

Различные комбинации полного решения для плоской электромагнитной волны фактически соответствуют одной и той же плоской волне при различных ее ориентациях, относительно выбранной системы координат.