окончательно получаем: (10)

Таким образом, мы получили 2 уравнения: векторное дифференциальное и скалярное дифференциальное с простой правой частью. Из наших рассуждений мы можем исключить , т.е. можем свести к нахождению только. Для этого в соотношении(7) исключим , используя соотношение(8). Из соотношения (8) следует:

(11)

5.3. Решение неоднородных уравнений Гельмгольца.

Необходимо решить неоднородное уравнение Гельмгольца:

(1)

Если удастся решить это уравнение, то:

Требуется определить поле в искомой точке Р вне объема V, причем расстояние от любой точки внутри объема до точки Р значительно больше, чем размеры объема. Выделим внутри объема V точку Q и вокруг нее построим элементарный объем V. R — расстояние между точками Q и Р. Мы ищем интенсивность поля , возбуждаемого сторонними токами в точке Р. Эта интенсивность пропорциональна (2). — некоторое среднее значение объемной плотности тока. Размеры объемазначительно меньше расстояния R, поэтомус протекающими в нем сторонними токами можно рассматривать как точечный источник. В силу симметрии задачи возбуждение поля в однородном изотропном пространстве точечным источником поверхность равных фаз (фазовых фронтов) будет иметь вид сферы (сферической волны расходящейся от источника на бесконечность).

Ограничимся простым случаем: когда поле гармоническое и амплитуда поля, возбуждаемого точечным источником, зависит только от r (r – расстояние от Q до P).

(3) – постоянная распространения, т.е. среда без потерь.

где r — радиальная координата. Последнее соотношение описывает сферическую волну. Таким образом, поле, возбуждаемое этими токами в объеме V:

(4).

Уравнения Максвелла и вытекающие из них уравнения Гельмгольца являются линейными дифференциальными уравнениями, поэтому для них справедлив принцип суперпозиции. В данном случае принцип суперпозиции истолковывается: поле, возбуждаемое элементарными объемами, находящимися внутри объема V, можно представить как суперпозицию полей, возбуждаемых сторонними токами, протекающими внутри элементарных объемов.

(5)

R_i — расстояние от V_i до точки наблюдения.

Для того чтобы возникло равенство надо определить коэффициент пропорциональности, который может быть определен в результате предельного перехода при бесконечном увеличении числа элементарных объемов в объеме V. В математической физике, при определении общего решения уравнения Гельмгольца, этот переход осуществлен:

Предположим, что у нас имеются потери: .

(6)

Когда сторонние источники распределены по поверхности S:

(7),

r — расстояние от элемента поверхности S до точки наблюдения.

Если поверхностные токи распределены по контуру, то: (8).

5.4. Уравнения Максвелла с учетом магнитных токов и зарядов.

Современная физика в настоящее время исключает возможность существования магнитных зарядов и токов, тем не менее, их введение очень упрощает решение задач.

Рассмотрим пространство, в котором существуют сторонний электрический ток и заряд. В этом случае уравнения Максвелла выглядят:

Будем предполагать, что в среде отсутствуют потери:

(1)

В рассматриваемой области, рассмотрим источники и

Уравнения Максвелла в этом случае будут:

(2)

Если в среде имеются и магнитные, и электрические источники, то уравнения Максвелла:

Из сопоставления систем (1) и (2) следует, что из любой из них может быть получена другая, если в исходной системе осуществить следующие перестановки:

(3)

Перестановки (3) получили название принципа перестановочной двойственности. Этот принцип позволяет в случае, если получено решение с одними сторонними источниками, получить готовое решение для других сторонних источников, не решая этой задачи, осуществив перестановки в соответствии с соотношением (3) в готовом решении задачи со сторонними источниками. В случае, когда имеются сторонние электрические источники, мы любую задачу решаем следующим образом:

Воспользуемся принципом перестановочной двойственности. Получим соотношения для сторонних магнитных источников:

В том случае, если в рассматриваемой задаче имеются и те, и другие источники, получаем: