Задачи по теме «Аналитическая геометрия»

1. Прямые и плоскости

1. Найти а) медиану, б) высоту, в) биссектрису треугольника ABC, опущенную из вершины A, если A(1,0), B(2,3), C(0,2).

2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки .

3. Найти расстояние от точки М(3; 5; —8) до плоскости .

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 3; 5) и перпендикулярной вектору n = 4i + 3j+2k.

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 3; —1) параллельно плоскости 5х—3y + 2z—10 = 0.

6. Найти расстояние от точки P(4,3,0) до плоскости, проходящей через точки

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей и через точку М(3; 2; 1).

9. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; —1; 4) и В(3; 2; —1) перпендикулярно плоскости

10. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М(2; 3; — 5) на плоскость 4х—2y+5z—12 = 0.

11. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A(3,-1,4) и B(1,1,2).

12. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

13. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3; 2; — 1) и пересекающей ось Ох под прямым углом.

14. Через прямую провести плоскость, параллельную прямой .

2. Кривые второго порядка

1. Привести к каноническому виду и определить тип кривой а) ; б) ; в)

2. Составить уравнение окружности, описанной около тр-ка A(3;-7),B(5;2),C(-1,0) Ответ [Данко129]

3. Составить уравнение множества точек, расстояние которых до точки А(0,1) в два раза меньше чем расстояние до прямой Ответ (Данко150)

4. На правой ветви гиперболы найти точку, рассояние которой до правого фокуса в два раза меньше рассояния до левого фокуса. Ответ (Данко 152) x=9.6,

5. Даны точки А(-1,0), В(2,0). Точка М движется так, что в тр-ке АМВ угол В остается в два раза больше угла А. Найти траекторию точки М. Ответ (Данок 153), гипербола

6. Эксцентриситет гиперболы равен и на ней лежит точка . Найти ур-ние гиперболы. Ответ (Данко 154)

7. Найти эксцентриситет и расстояние между фокусами эллипса . Нарисовать эллипс.

8. Найти эксцентриситет и расстояние между фокусами гиперболы . Нарисовать гиперболу.

9. Построить параболу . Найти ее фокус и директрису. Нарисовать параболу.

10. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная. (=а Ь)