Вопрос 6

Характерные скорости распределе­ния Максвелла. Вид функ­ций распределения Максвелла (формулы (23) и (24)) показан на рис.21. По графику распреде­ления видно, что с увеличением температуры мак­симум распределения смещается в сторону больших скоростей, а высота кривой в максимуме снижается. Однако условие нормировки обязует равенство площадей, ог­раниченных каждой кривой и осью скоростей независимо от значения температуры. Вследствие этого с увеличением температуры число молекул с большими скоростями увеличивается, а число медленных молекул обя­зано уменьшатся соответственно условию нормировки.Среднее значение функций , зависящих от модуля скорости, вы­числяется по формуле для среднего:. Соответ­ственно получаем среднеарифметическую и среднеквадратич­ную скорости: <> =иСкорость, соответст­вующая макси­муму кривой распределения, на­зываетсянаивероятней­шей. Она нахо­дится из усло­вия экстремума (мак­симума) функции Максвелла: . В резуль­тате (см. прил. 2) полу­чаем определяющее равенство:.

Большая часть всех молекул имеет скорости в сравнительно не­боль­шом интервале около наивероятнейшей, а молекул вне этого интер­вала очень мало. С повышением температуры скорости молекул растут как .

Вопрос 7

Принцип детального равновесия. Распределение Максвелла яв­ля­ется равновесным, а значит стационарным. Это означает, что число частиц в каждом элементе объема около скоростине меня­ется со временем. Но если есть столкновения, то состав молекул в каждом таком элементе меняется. Какие-то молекулы уходят из данного объема, какие-то приходят в него из других элемен­тов объема.

Спрашива­ется: как осущест­вляется этот об­мен между эле­ментами объема?

а) б) в)

Рис. 22. Схемы обмена частицами

Принцип детального равновесия утверждает, что равновесие уста­навливается де­тально, т.е. между всеми парами элементов объема. Это оз­начает, что ка­ждый элемент объема за единицу времени отдает в лю­бой другой элемент объема столько частиц, сколько из него получает (обмен взаимный). Ин­тенсивность же обмена между каждой парой эле­ментов объ­ема может быть различна.

Схемы а) и б) на рис.3 предполагают заданность и направленность процесса столкновений и значит предпочтительность как минимум в паре одного элемента объема над другим. Схема в) предполагает хао­тичность и равновероятность элементов объема в паре, так что два рав­новесных со­стояния обеспечивают справедливость принципа детального равновесия.

Вопрос 8

Давление газа на стенку. Давление возникает в результате уда­ров молекул о стенки сосуда. При упругом ударе молекулы о стенку нормаль­ная (к стенке) составляющая количества движения изме­нится на об­ратную (-), а параллель­ные стенке составляющие и оста­нутся без из­менения (рис. 23). Тангенци­альные составляю­щие им­пульсов компенсируются, а нормальные должны обуслав­ливать возникновение давле­ния. Поэтому изменение ко­личества движения мо­лекулы при ударе о стенку равно . Оно называется импульсом силы, действующим нормально на мо­ле­кулу со стороны стенки. При этом на стенку действует импульс такой же величины. Происходит передача импульса. Причем, если ось 0х пер­пенди­кулярна касательной к стенке в точке удара, то предельный им­пульс равен 2 m.

Из определений давления и теоремы импульсов следует, что дав­ле­ние определено суммарным импульсом, передаваемым стенке площа­дью 1 м² молекулами в результате их столкновений со стенкой за 1 с. Поэтому, давление определяет удвоенный поток импульса молекул, нормальный к поверхности стенки (см. рис. 23). Ось 0X перпендику­лярна стенке, - кон­центрация молекул.

Поток молекул в направлении стенки:

.

Поток импульса по направлению к стенке:

.

Индекс (+) касается только молекул, движу­щихся к стенке, т.е. поло­вины общего их числа. То­гда (см. с. 52):

.

Для р_y и р_z рассуждения аналогичны, поэтому: . Так как давление газа изотропно, то давление в дан­ной точке в разных на­правлениях одинаково и его можно обозначитьр без указания направле­ния.

Так как , то. Это уравнение -основ­ное уравнение кинетической теории идеальных газов.

Пусть N - общее число молекул газа в объеме V. Тогда и. А так как, где- количество молей, то получаемурав­нение состояния Клапейрона-Менделеева: ,

где Дж/моль^.К - молярная газовая постоянная.