исследование операции в эк.МетУказПР

Методические указания к практическим занятиям по предмету

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ

Приведены образцы решения типовых задач. Эти решения необходимо дополнить рисунками при выполнении графического решения.

Задача 1. Найти соответствующий оптимальный план и вычислить максимум

при ограничениях

, , .

Решение. Проведем анализ задачи. В задаче 4 переменные и 2 основных ограничения в виде равенств (не считая условия неотрицательности). Так как ограничения даны в виде равенств, то задача в канонической форме. В данном виде геометрически задачу не решить, так как много переменных. Можно попытаться решать симплекс-методом. Для этого придется применять специальные методы поиска начального опорного плана: метод искусственного базиса или М-метод. В любом из этих случаев число переменных возрастет и вычисления будут громоздкими. Предложим более простой метод решения.

Решим задачу графически, преобразовав каноническую форму задачи линейного программирования к стандартному виду. У нас два ограничения и есть две переменные, каждая из которых встречается только в одном уравнении. Эти переменные можно исключить из задачи, тем самым упростив её формулировку. Исключаемыми переменными объявим первую и последнюю.

Для этого из первого условия системы ограничений выразим , а из второго уравнения .

Подставим в целевую функцию и получим новую целевую функцию

(которую также исследуем на максимум) и новую систему ограничений без переменных :

, , . За счет неотрицательности исключаемых переменных получили неравенства в разные стороны.

Полученную задачу линейного программирования стандартного вида на плоскости

решим графически. На плоскости изобразим множество допустимых планов, которое удовлетворяет системе ограничений (все необходимые рисунки выполнить самостоятельно). Получим треугольник с вершинами в точках A(4,0), B(6,0), C(2,2). Вычислим значение новой целевой функции в этих угловых точках:

,

,

.

Получили решение вспомогательной (новой) задачи на максимум: .

Отсюда вычисляем оптимальный план и максимум исходной задачи:

Ответ. .

Задача 2. Составить двойственную задачу к задаче 1 и решить её.

Решение. Ограничения исходной задачи следует записать в матричном виде. Двойственная задача к задаче 1 имеет следующий вид –

Найти минимум функции

при ограничениях

Коэффициенты целевой функции и элементы столбца свободных членов поменялись местами. Матрицу системы ограничений заменили на транспонированную матрицу. От матричного вида перешли к развернутому виду (в виде отдельных неравенств), удалив нулевые слагаемые.

Решение двойственной задачи найдем по теоремам двойственности.

По второй теореме двойственности из условия следует, что второе условие двойственной задачи обращается в равенство . Аналогично, из условия

вытекает обращение в равенство четвертого соотношения: . Отсюда получаем оптимальный план двойственной задачи

и оптимальное значение целевой функции

Другой метод решения двойственной задачи – графический. На плоскости изобразим множество допустимых планов двойственной задачи как множество, удовлетворяющее системе четырех неравенств. Существенными оказываются только второе и четвертое неравенства. Получили неограниченную область с одной угловой точкой (0,5). Учитывая направление оптимизации целевой функции получаем, что эта угловая точка и соответствует оптимальному плану.

Задача 3. Решить симплекс-методом следующую задачу.

Найти максимум целевой функции

при ограничениях и

Решение. Исходную задачу в стандартном виде приведем к канонической форме задачи линейного программирования, добавив фиктивные переменные y_1, y_2.

Новая задача: найти максимум целевой функции

при ограничениях и y_1, y_2,

Составим первую симплекс-таблицу.

x1	x2	y1 *	y2 *	Своб. чл.	Базисн. Коэффиц.	Выбор разр. эл.
3	1	1	0	9	0	9:3=3 min
1	2	0	1	8	0	8:1=8
2	3	0	0		-1
-2	-3	0	0	0

В первых двух строчках (кроме двух последних столбцов) указаны коэффициенты системы ограничений. Именно они и нужно будет преобразовать с помощью метода Гаусса-Жордана при переходе к следующей симплекс-таблице.

Предпоследняя строка содержит коэффициенты целевой функции и в дальнейшем не меняется. Число -1 в клетке на пересечении этой строки и предпоследнего столбца ставится для удобства вычислений и тоже не меняется в дальнейшем.

В последней строке вычислены «оценки» переменных (первые 4 клетки) и значение целевой функции f(x) на соответствующем опорном плане. Для вычисления этой строки используется столбец базисных коэффициентов, который на начальном этапе имеет указанный простой вид. Если этот столбец известен, то оценка переменной вычисляется как скалярное произведение вектора, указанного в этом столбце, на вектор, указанный в столбце соответствующей переменной. Также вычисляется и значение целевой функции через значения в столбце свободных членов.

Например, оценка для переменной x₁ : 0*3+0*1+(-1)*2=-2;

оценка для переменной x₂ : 0*1+0*2+(-1)*3=-3;

значение целевой функции на данном опорном плане: 0*9+0*8=0.

Шаг симплекс-метода состоит в переходе к следующей симплекс-таблице. Сначала делаем анализ первой симплекс-таблицы. Решается задача на максимум и есть отрицательные оценки. Значит план не оптимальный. Выберем первый столбец в качестве разрешающего столбца, так как ему соответствует отрицательная оценка. Для этого столбца вычисляем отношения значений элементов столбца свободных членов к положительным элементам этого столбца (вычисления в последнем столбце таблицы). Выбираем из полученных значений минимальное, что позволяет установить разрешающую строку ( в данном примере первая строка). Значит в качестве разрешающего элемента выбран начальный элемент 3 (выделен цветом).

Совершим шаг метода Гаусса-Жордана относительно выбранного разрешающего элемента. Сначала выбранный элемент сделаем единицей, поделив первую строку на 3.

x1	x2	y1 *	y2 *	Своб. чл.
1	1/3	1/3	0	3
1	2	0	1	8

Остальные (не выделенные) элементы первого столбца сделаем равными 0. Для этого вычтем из второго столбца первый.

x1	x2	y1 *	y2 *	Своб. чл.
1	1/3	1/3	0	3
0	5/3	-1/3	1	5

Дополним эту таблицу до симплекс-таблицы согласно ранее приведенному описанию процедуры. Уточним правило получения столбца базисных коэффициентов. Звездочкой отметили базисные столбцы (первый и четвертый). Коэффициент целевой функции (указан в третьей строке) базисного столбца поднимаем до единицы этого столбца и переносим в полученную строку предпоследнего столбца. По новому виду столбца базисных коэффициентов вычисляются оценки (последняя строка). План не оптимальный, так как есть отрицательная оценка (второй столбец). Столбец с отрицательной оценкой объявляем разрешающим и для него вычисляем последний столбец для выбора разрешающей строки.

Вторая симплекс-таблица с выделенным разрешающим элементом.

x1 *	x2	y1	y2 *	Своб. чл.	Базисн. Коэффиц.	Выбор разр. эл.
1	1/3	1/3	0	3	2	3:(1/3)=9
0	5/3	-1/3	1	5	0	5:(5/3)=3 min
2	3	0	0		-1
0	-7/3	2/3	0	6

Совершим шаг метода Гаусса-Жордана относительно выбранного разрешающего элемента. Сначала выбранный элемент сделаем единицей, поделив вторую строку на 5/3 (другими словами, умножим на 3/5).

x1	x2	y1	y2	Своб. чл.
1	1/3	1/3	0	3
0	1	-1/5	3/5	3

Остальные (не выделенные) элементы второго (разрешающего) столбца сделаем равными 0. Для этого вычтем из первого столбца второй, умноженный на 1/3.

x1 *	x2 *	y1	y2	Своб. чл.
1	0	2/5	-1/5	2
0	1	-1/5	3/5	3

Дополним эту таблицу до симплекс-таблицы согласно ранее приведенному описанию процедуры. Повторим правило получения столбца базисных коэффициентов. Звездочкой отметили базисные столбцы (первый и второй). Коэффициент целевой функции (указан в третьей строке) базисного столбца поднимаем до единицы этого столбца и переносим в полученную строку предпоследнего столбца. По новому виду столбца базисных коэффициентов вычисляются оценки (последняя строка). План оптимальный, так как нет отрицательных оценок.

Третья симплекс-таблица.

x1 *	x2 *	y1	y2	Своб. чл.	Базисн. Коэффиц.
1	0	2/5	-1/5	2	2
0	1	-1/5	3/5	3	3
2	3	0	0		-1
0	0	1/5	7/5	13

Выпишем оптимальный план, соответствующий данной симплекс-таблице. Он автоматически вычисляется из приведенной системы линейных уравнений, если свободные переменные (не базисные, то есть не отмеченные звездочкой) приравнять нулю. Получили

Ответ. .

ЗАМЕЧАНИЕ. Данная задача 3 легко решается графически на плоскости, так как в задаче две переменные. Если же в задаче три переменные, то она тоже допускает графическое решение в трехмерном пространстве. При этом рисунок делается условный, не строго выдерживая масштаб. Однако взаимное расположение точек на осях должно быть верным и соответствующим их числовым значениям. Если в задаче два неравенства от трех переменных, то рисуются два треугольника в первом октанте. Находится линия пересечения этих треугольников (если таковая есть). Точнее, находятся координаты двух точек, являющихся концами части этой линии пересечения, лежащей в первом октанте. Множество допустимых планов (как правило) является симплексом с конечным числом угловых точек. Все эти угловые точки указывают на рисунке и точно вычисляют их координаты. Потом вычисляют значение целевой функции во всех угловых точках и выбирают из них оптимальное.

Задача 4. Решить транспортную задачу, для которой задана матрица стоимостей перевозок с указанными запасами и потребностями.

	В1	В2	В3	запасы
А1	9	7	3	100
А2	2	5	6	200
потребности	80	190	80

Решение. Начнем с анализа условия задачи. В таблице указано, что имеется два поставщика А1 и А2 с запасами продукта в количестве 100 и 200 единиц соответственно, который надо перевезти трем потребителям B1, B2, B3 с потребностями 80, 190 и 80 единиц соответственно. В таблице указана стоимость перевозки (в тыс. руб.) одной единицы продукции от поставщика к потребителю.

Требуется составить план перевозки, имеющий минимально возможную общую стоимость перевозки такой, при котором все запасы будут перевезены. Удовлетворить все потребности невозможно, так как суммарные запасы (100+200=300 ед.) меньше суммарных потребностей (80+190+80=350 ед.). Значит задача открытая.

Сведем задачу к закрытой, введя фиктивного поставщика A3, имеющего недостающий объем продукции (350-300=50 ед.). Стоимость перевозки от этого фиктивного поставщика к каждому потребителю объявляем равной нулю. Получим закрытую задачу с матрицей:

	В1	В2	В3	запасы
А1	9	7	3	100
А2	2	5	6	200
А3	0	0	0	50
потребности	80	190	80

Составим начальный план по методу северо-западного угла.

	В1	В2	В3	запасы
А1	9 80	7 20	3	100
А2	2	5 170	6 30	200
А3	0	0	0 50	50
потребности	80	190	80

Элементы плана расставляли в клетках таблицы в порядке:

A1B1, A1B2, A2B2, A2B3, A3B3 максимально возможным значением объема перевозки (исходя из имеющихся запасов и потребностей).

Замечание. В левой части клетки указаны стоимости перевозки, а в правой объем перевозки. При выполнении работы эти показатели лучше оформлять разным цветом (или отделять друг от друга каким-то другим способом).

Оптимизацию проведем методом потенциалов.

По занятым клеткам (тем, где указаны объемы перевозок) расставим потенциалы строк и столбцов ( в клетках, где ранее были указаны запасы и потребности).

	В1	В2	В3
А1	9 80	7 20	3	0
А2	2	5 170	6 30	-2
А3	0	0	0 50	-8
	9	7	8

Расстановка потенциалов (для занятых клеток) проведена по следующему правилу: сумма потенциалов равна стоимости перевозки, указанной в данной занятой клетке. Начали с первой строки, для которой взяли потенциал равный 0. После этого вычислили потенциалы первого и второго столбца. По клетке A2B2 вычислили потенциал второй строки, равный -2. Отсюда находим потенциал последнего столбца, равный 8. Последним вычисляем потенциал третьей строки, равный -8.

Проверим условие оптимальности найденного плана перевозки, состоящего в том, что сумма потенциалов должна не превосходить стоимости перевозки. Все клетки, для которых сумма потенциалов больше стоимости перевозки пометим значком +. Например, для клетки A1B3 сумма потенциалов минус стоимость перевозки равна: 0+8-3=5>0. (Для клетки A2B1 эта величина равна: -2+9-2>0, для A3B1-- -8+9-0>0, а для A3B2 -- -8+7-0<0)

	В1	В2	В3
А1	9 80	7 20	3 +	0
А2	2 +	5 170	6 30	-2
А3	0 +	0	0 50	-8
	9	7	8

Выберем один из значков + (например, клетку A2B1). Составим замкнутый цикл, проходящий через занятые клетки и начинающийся в выбранной клетке A2B1 (со значком +). Расставим чередующиеся знаки + и – в этом построенном цикле. Получили помеченный цикл: A2B1(+),A1B1(-),A1B2 (+),A2B2(-), который обычно другим цветом изображают поверх приведенной последней таблицы. Из клеток цикла со знаком – (клетки A1B1,A2B2) выберем минимальный объем перевозки (в нашем случае 80 ед., указанных в клетке A1B1). Перераспределим план перевозки в соответствии с выбранным помеченным (расстановка знаков + и -) циклом и выбранным объемом (в количестве 80 ед.) переброски товара. Получим следующий план.

	В1	В2	В3
А1	9	7 100	3
А2	2 80	5 90	6 30
А3	0	0	0 50

По описанному выше правилу расставим потенциалы (например, начиная со второй строки) и проверим условие оптимальности приведенного плана перевозки (расстановка знаков +).

	В1	В2	В3
А1	9	7 100	3 +	2
А2	2 80	5 90	6 30	0
А3	0	0	0 50	-6
	2	5	6

Составим замкнутый цикл, проходящий через занятые клетки и начинающийся в выбранной клетке A1B3 (со значком +). Расставим чередующиеся знаки + и – в этом построенном цикле. Получили помеченный цикл: A1B3(+),A1B2(-),A2B2 (+),A2B3(-), который следует другим цветом изобразить поверх приведенной последней таблицы. Из клеток цикла со знаком – (клетки A1B2,A2B3) выберем минимальный объем перевозки (в нашем случае 30 ед., указанных в клетке A2B3). Перераспределим план перевозки в соответствии с выбранным помеченным (расстановка знаков + и -) циклом и выбранным объемом (в количестве 30 ед.) переброски товара. Получим следующий план.

	В1	В2	В3
А1	9	7 70	3 30
А2	2 80	5 120	6
А3	0	0	0 50