исследование операции в эк.МетУказПР

По описанному выше правилу расставим потенциалы и проверим условие оптимальности приведенного плана перевозки (расстановка знаков +).

	В1	В2	В3
А1	9	7 70	3 30	0
А2	2 80	5 120	6	-2
А3	0 +	0 +	0 50	-3
	4	7	3

Выберем один из значков + (например, клетку A3B2). Составим замкнутый цикл, проходящий через занятые клетки и начинающийся в выбранной клетке A3B2 (со значком +). Расставим чередующиеся знаки + и – в этом построенном цикле. Получили помеченный цикл: A3B2(+),A1B2(-),A1B3 (+),A3B3(-), который следует другим цветом изобразить поверх приведенной последней таблицы. Из клеток цикла со знаком – (клетки A1B2,A3B3) выберем минимальный объем перевозки (в нашем случае 50 ед., указанных в клетке A3B3). Перераспределим план перевозки в соответствии с выбранным помеченным (расстановка знаков + и -) циклом и выбранным объемом (в количестве 50 ед.) переброски товара. Получим следующий план.

	В1	В2	В3
А1	9	7 20	3 80
А2	2 80	5 120	6
А3	0	0 50	0

По описанному выше правилу расставим потенциалы и проверим условие оптимальности приведенного плана перевозки. Так как для всех незанятых клеток сумма потенциалов получилась меньше стоимости перевозки, то план перевозки оптимальный.

	В1	В2	В3
А1	9	7 20	3 80	7
А2	2 80	5 120	6	5
А3	0	0 50	0	0
	-3	0	-4

Выпишем оптимальный план перевозки, соответствующий данной таблице:

от А1 к B2 перевезти 20 единиц,

от А1 к B3 перевезти 80 единиц,

от А2 к B1 перевезти 80 единиц,

от А2 к B2 перевезти 120 единиц.

Общая стоимость перевозки будет равна:

L=20*7+80*3+80*2+120*5=140+240+160+600=1140 (тыс. руб.)

Фиктивная перевозка от фиктивного поставщика А1 потребителю B1 в объеме 50 ед. в ответе не указывается. Можно указать, что потребности потребителей B1 и B3 будут удовлетворены полностью, а потребитель B2 вместо запрошенных 190 ед. получит 140 ед. (на 50 ед. меньше).

ЗАМЕЧАНИЕ. Если начальный план найти по методу минимальной стоимости, то шагов вычисления в данной задаче будет существенно меньше.

В приведенной задаче встретились невырожденные опорные планы. В случае вырожденных опорных планов расстановка потенциалов усложняется. В качестве способа преодоления возникших трудностей можно применить метод преобразования плана в фиктивно невырожденный, указывая в какой-то из незанятых клеток перевозку объема 0.

Задача 5. Руководство фирмы, имеющей договор о сотрудничестве с двумя малыми предприятия, на плановый трехгодовой период выделила для них оборотные средства в объеме s=1000 у. е.

Для каждого предприятия известны функции годового дохода =2x и =1,6x и годового остатка оборотных средств =0,2x и =0,4x в зависимости от выделенной на год суммы x. В начале каждого года средства распределяются полностью между двумя предприятиями (из этих вложенных средств и вычисляется доход), а по окончанию года остатки средств аккамулируются у руководства фирмы и снова распределяются полностью между предприятиями.

Составить план погодового распределения средств на указанный период (3года), позволяющий достичь максимальный общий доход.

Решение. Применяется метод динамического программирования, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Согласно этому принципу оптимизацию начинают с последнего этапа (третий год). Так как по окончанию последнего этапа нас не интересуют оставшиеся средства, то оптимальное распределение на этом этапе (последнем) очевидно: все средства s выделить первому предприятию, гарантирующему максимальный доход. Тогда управление на последнем этапе u=(s,0), а функция Беллмана этапа B(s)=2s.

В начале предыдущего этапа (второй год планирования) распределяем оставшиеся средства в объеме s. Решение можно проводить в смешанных стратегиях, а можно в чистых стратегиях. Покажем второй вариант (в чистых стратегиях). В озможны два крайних варианта планирования: u=(s,0) или u=(0,s). В первом случае остаток средств равен 0,2s , а во втором случае 0,4s. Функция Беллмана второго этапа выбирается равной максимуму из оптимальных значений дохода за два последние года при этих двух вариантах планирования. При варианте u=(s,0) оптимальный доход за два последние года

2s+B(0,2s)=2s+0,4s=2,4s. При варианте u=(0,s) оптимальный доход за два последние года

1,6s+B(0,4s)=1,6s+0,8s=2,4s. Максимум из этих величин равен 2,4s. Поэтому функция Беллмана второго шага (он же второй этап) B(s)=2,4s.

На третьем шаге переходим к предыдущему этапу (первый год планирования). В чистых стратегиях возможны два крайних варианта планирования: u=(s,0) или u=(0,s). В первом случае остаток средств равен 0,2s , а во втором случае 0,4s. Функция Беллмана третьего шага (первого этапа) выбирается равной максимуму из оптимальных значений дохода за все три года при этих двух вариантах планирования. При варианте u=(s,0) оптимальный доход за весь срок равен 2s+B(0,2s)=2s+0,48s=2,48s. При варианте u=(0,s) оптимальный доход за весь срок равен 1,6s+B(0,4s)=1,6s+0,96s=2,56s.

Максимум из этих величин равен 2,56s и суммарный доход при вложенных s=1000 у. е. средств равен 2560 у.е.

На основе полученных вариантов принятия решений на каждом шаге восстанавливаем погодовое планирование распределения средств между предприятиями.

Приведем два возможных крайних варианта планирования.

Средства Первому предпр. Второму предпр. Остаток Доход

ПЕРВЫЙ ГОД. 1000 у.е. 0 у.е. 1000 у.е. 400 у.е. 1600 у.е.

ВТОРОЙ ГОД 400 у.е. 0 у.е. 400 у.е. 160 у.е. 640 у.е.

ТРЕТИЙ ГОД 160 у.е. 160 у.е. 0 у.е. 320 у.е.

Средства Первому предпр. Второму предпр. Остаток Доход

ПЕРВЫЙ ГОД. 1000 у.е. 0 у.е. 1000 у.е. 400 у.е. 1600 у.е.

ВТОРОЙ ГОД 400 у.е. 400 у.е. 0 у.е. 80 у.е. 800 у.е.

ТРЕТИЙ ГОД 80 у.е. 80 у.е. 0 у.е. 160 у.е.

Оба варианта обеспечивают максимально возможный (и одинаковый) доход за плановый период равный 2560 у.е. Кроме этих двух крайних вариантов возможен произвольный промежуточный вариант вида (где X есть любое число от 0 до 400):

Средства Первому пр. Второму пр. Остаток Доход

ПЕРВЫЙ ГОД. 1000 у.е. 0 у.е. 1000 у.е. 400 у.е. 1600 у.е.

ВТОРОЙ ГОД 400 у.е. X у.е. (400-X) у.е. (160-0,2X)у.е. (640+0,4X) у.е.

ТРЕТИЙ ГОД (160-0,2X)у.е. (160-0,2X) у.е. 0 у.е. (320-0,4X) у.е.