Лабораторная работа № 7 группы, порожденные двумя элементами

Если группа содержит элементыи, то, очевидно, она содержит и циклические подгруппыи. Что касается других подгрупп, содержащих элементы, то их принадлежность группезависит от соотношений между элементами. Наименьшая из подгрупп, содержащих, называется подгруппой порождённой элементамии обозначается как. Простейшее соотношение междуa и b есть равенство . Например, если- перестановки, являющиеся независимыми циклами, топерестановочны в группе.

Другим соотношением между может быть равенство.

1. Пусть - элементы конечной группы и.

1.1. Докажите, что для всех.

1.2. Пусть, кроме того, элемент имеет порядок 2. Заполните таблицу умножения.

1.3. Докажите, что множество образует подгруппу

2. Пусть - элементы конечной группы и.

2.1. Докажите что .

2.2. Пусть, кроме того, элемент имеет порядок 3. Заполните таблицу умножения

2.3. Докажите, что множество образует подгруппу.

3. Пусть - элементы группы и.

3.1. Докажите что для любых натуральных.

3.2. Докажите, что множество образует подгруппу.

4.Пусть - элементы группы и. Докажите что.

5. Пусть - элементы группы и. Докажите чтодля всех целых.

6. Если то каков порядок перестановки?

7. Если то каков порядок перестановки?

8. Если то каков порядок перестановки?

9. Если перестановки являются циклами длинысоответственно, и наибольший общий делитель дляесть, то каков порядок перестановки?

10. Приведите пример, показывающий, что если - элементы группы,имеет порядок 6,имеет порядок 10, то произведениеможет иметь порядок, отличный от 30. Даже когда.

11. Пусть

11.1. Проверьте, что

11.2. Проверьте, что

11.3. Вычислите перестановки .

11.4. Проверьте, что

12. Пусть

12.1. Проверьте, что .

12.2. Проверьте, что .

12.3. Вычислите перестановки

12.4. Проверьте, что - группа симметрий квадрата.

13. Пусть

13.1. Проверьте, что .

13.2. Проверьте, что .

13.3. Вычислите перестановки .

13.4. Проверьте, что для правильного пятиугольника с вершинами 1, 2, 3, 4 и 5 число симметрий описывается данными перестановками.

14. Пусть - элементы группы,имеет порядок 2 и.

14.1. Рассмотрите произведение c двух точек зрения: с точки зрения, что, и с другой точки зрения, что

14.2. Расширьте этот метод для доказательства того, что для всех целых n.

14.3. Заполните соответствующую таблицу умножения

14.4. Докажите, что множество образует подгруппу.

15. Пусть группа G порождается элементом a порядка n и элементом b

порядка 2, которые связаны соотношением .

15.1. Докажите, что состоит изэлементов.

15.2. Докажите, что каждый элемент вида имеет порядок 2.

16. Представьте каждый элемент из как произведение транспозиций.

Докажите, что .

17. Докажите, что множество всех транспозиций из порождает группу.

18. Вычислите произведение и установите, что множество транспозицийпорождает группу.

19. Вычислите произведения

20. Докажите, что каждая чётная перестановка может быть записана в виде произведения циклов длины 3.

21. Докажите, что все циклы длины 3 порождают .