Методы оптимизации / n2

6) Pm Pn cij xij ¡! min; i=1 j=1

Pn ®ijxij = ai; i = 1; m;

j=1

Pm ¯ijxij = bj; j = 1; n;

i=1

xij ¸ 0; i = 1; m; j = 1; n:

5.2. Теоремы двойственности

Отметим следующие важные свойства взаимно двойственных задач. Для определ¼нности будем считать, что задача на минимум является прямой, а на максимум двойственной.

Свойство 1. Åñëè x è y допустимые решения соответственно прямой и двойственной задачи, то w(x) ¸ z(y):

Свойство 2. Åñëè x è y допустимые решения соответственно прямой и двойственной задачи и w(x) = z(y), òî x è y оптимальные решения.

Теорема 2 (вторая теорема двойственности, или теорема о дополняющей неж¼сткости). Допустимые решения x è y соответственно прямой и двойственной за-

дачи оптимальны тогда и только тогда, когда

yi(aix ¡ bi) = 0 (i 2 I);

(cj ¡ yAj)xj = 0 (j 2 J):

Пример 1. При каких значениях a система

¡5y1 + 8y2 · a;

y1 ¡ y2 · ¡3; y1 ¡ 2y2 · 3;

2y1 ¡ 3y2 · 1

несовместна?

Решение. Дополним систему до задачи линейного программирования, добавив целевую функцию 0 ¡! max; и построим двойственную к ней:

ax1 ¡ 3x2 + 3x3 + x4 ! min

¡5x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0;

61

8x1 ¡ x2 ¡ 2x3 ¡ 3x4 = 0; xi ¸ 0; i = 1; 2; 3; 4:

Решим е¼ симплекс методом. Поскольку правая часть нулевая, то любое базисное решение будет допустимым. Выберем в качестве начального базиса B = (A3; A4) и построим

симплекс таблицу

Таблица не является двойственно допустимой, так как z02 < 0. Переходим к базису

(A3; A2):

Åñëè a ¸ ¡3, то симплекс таблица является прямо и двойственно допустимой. Если же a < ¡3, то задача неразрешима ввиду неограниченности целевой функции. Тогда по первой теореме двойственности при a ¸ ¡3 исходная система имеет решение, а при a < ¡3 îíà

несовместна.

Пример 2. Найти минимальное значение линейной формы

w(x) = x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xn

при ограничениях

xj + xj+1 ¸ ®j; j = 1; : : : ; n ¡ 1; x1 + xn ¸ ®n:

yi + yi+1 = 1; i = 1; : : : ; n ¡ 1; y1 + yn = 1;

yi ¸ 0; i = 1; : : : ; n:

Пусть n = 2k + 1: Из системы ограничений равенств при попарном вычитании можно установить, что y1 = y3 = ¢ ¢ ¢ = y2k+1 è y2 = y4 = ¢ ¢ ¢ = y2k: А из условий y1 + y2 =

двойственной задачи. Так как все yi (i = 1; n) положительны, из второй теоремы двойственности получаем, что

xj + xj+1 = ®j; j = 1; n ¡ 1; x1 + xn = ®n:

62

=1

Теперь по индукции можно определить и остальные координаты вектора x :

xj = (¡1)j¡1³Xj¡1(¡1)s®s + x1´; j = 2; : : : ; 2k + 1:

s=1

Таким образом, это решение тоже единственное. Понятно, что найти его и доказать оптимальность, не зная решения двойственной задачи, непросто.

Пусть теперь n = 2k: Как и выше, имеем равенства y1 = y3 = ¢ ¢ ¢ = y2k¡1 è y2 = y4 =

¢ ¢ ¢ = y2k: Целевую функцию можно записать в таком виде:

x2s + x2s+1 ¸ ®2s; (s = 1; : : : ; k ¡ 1); x2k + x1 ¸ ®2k;

оптимально. Выписать решение в случае n = 2k не уда¼тся, но это и не требовалось.

Задачи

1. Найти оптимальное решение задачи, исходя из геометрической интерпретации двойственной к ней:

1) x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ¡! min; x1 + x2 + x3 + x4 ¸ 1;

x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0; x4 ¸ 0;

2) x1 + x2 + x3 + x4 ¡! min,

x1 ¡ x2 ¸ 0; x1 + x2 ¡ x3 + x4 ¡ x5 ¸ 1; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0; x4 ¸ 0; x5 ¸ 0;

63

3) x1 + 5x2 + x3 + 10x4 + x5 + 3x6 ¡! min,

¡x1 + x2 + x3 + x4 ¸ 1; x1 + 2x2 ¡ x3 + 3x4 ¡ x5 ¡ x6 ¸ 1, x1 ¸ 0; x2 ¸ 0 x3 ¸ 0; x4 ¸ 0; x5 ¸ 0; x6 ¸ 0.

2.Найти оптимальное решение задачи, решая двойственную к ней задачу симплекс методом:

1)3x1 + 5x2 + 4x3 ¡! min,

x1 + 2x2 + 3x3 ¸ 1; 2x1 + 3x2 + x3 ¸ 1; 3x1 + x2 + 2x3 ¸ 1; 6x1 + 6x2 + 6x3 ¸ 1; 2x1 + 4x3 ¸ 1;

2)x1 ¡ x2 + x3 ¡! min;

x1 ¡ x2 + 2x3 ¸ 0; x1 + x2 ¡ x3 ¸ 0; ¡x1 + 2x2 + x3 ¸ 1; x1 + x3 ¸ 2; ¡2x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3 ¸ 3.

3.Используя теорию двойственности, найти оптимальное решение задачи:

1) x1 + 2x2 + 3x3 + ¢ ¢ ¢ + nxn ¡! min; x1 + x2 + ¢ ¢ ¢ + xi ¸ i; i = 1; n;

xj ¸ 0; j = 1; n;

2) x1 + x2 + x3 ¡! min;

¸x1 + x2 + x3 ¸ ¹1; x1 + ¸x2 + x3 ¸ ¹2; x1 + x2 + ¸x3 ¸ ¹3; 3) x1 + ¸x2 + ¸2x3 ¡! min;

(1 + ¸)x1 + x2 + x3 ¸ ¹1; x1 + (1 + ¸)x2 + x3 ¸ ¹2; x1 + x2 + (1 + ¸)x3 ¸ ¹3.

5. При каких значениях a система несовместна:

64

1) ¡ 5y1 ¡ 2y2 · a 2) 9y1 + 16y2 ¸ a 3) ¡ 3y1 ¡ y2 · a + 5

5.3. Двойственный симплекс метод

В силу теорем двойственности, решая прямую задачу (1) (4), мы одновременно с е¼ оптимальным решением получаем также и оптимальное решение двойственной задачи или устанавливаем неразрешимость обеих задач. При этом для задачи в канонической форме x¤B = B¡1b; x¤N = 0; à y¤ = cBB¡1; ãäå x¤ è y¤ оптимальные решения соответственно

прямой и двойственной задачи, а B оптимальный базис. Данное свойство приводит к

иначе КОНЕЦ (задача неразрешима, так как X = ;). 4) Преобразовать симплекс таблицу, положить ¾(r) := s

èперейти на шаг 1.

Âслучае невырожденной двойственной задачи в каждой двойственно допустимой симплекс таблице элементы z0j, для номеров j небазисных переменных, положительны (jfj j z0j >

0; j ¸ 1gj = n ¡ m), что гарантирует сходимость двойственного симплекс метода за конеч-

ное число шагов. В случае вырожденной двойственной задачи можно использовать те же способы, что и в случае прямого симплекс метода.

Двойственный симплекс метод удобно использовать для решения задач ЛП вида

cx ! min

Ax · b;

x ¸ 0;

с неотрицательным вектором c. Тогда после приведения к канонической форме получается

двойственно допустимая симплекс таблица. Пример. Решить задачу

w(x) = x1 + 3x2 ! min; x1 + x2 + x3 · 4; x1 ¡ x2 + x3 · ¡1; xi ¸ 0; i = 1; 2; 3:

65

Решение. Так как вектор c = (1; 3; 0) неотрицателен, то данную задачу целесообразно

Таблица является двойственно допустимой, но не является прямо допустимой (z20 = ¡1 < 0). Ведущий элемент выбираем однозначно (r = 2; s = 2). После преобразования

Получена прямо и двойственно допустимая таблица. Следовательно, базис B = (A2; A4) оптимален, при этом x¤ = (0; 1; 0; 3; 0)> è w(x¤) = 3:

Задачи

Решить с помощью двойственного симплекс метода задачу, выбрав базис B0 в качестве исходного базиса:

1) ¡x1 ¡ 2x2 + 4x3 ¡! min,

x1 + x2 ¡ 3x3 = 0; x1 ¡ 2x2 + x3 = 3, x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0,

B0 = (A1; A2);

2) ¡x1 + 7x2 + 5x3 + 35x4 ¡! min,

2x1 + 6x2 ¡ 8x3 ¡ 30x4 = 6; x1 ¡ x2 + x3 + x4 = ¡5, x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0; x4 ¸ 0,

B0 = (A1; A2);

3) ¡x1 ¡ x2 ¡ x3 + x5 ¡! min,

x1 + x2 ¡ 4x4 + 2x5 = ¡2; x2 + x3 + x4 ¡ 2x5 = ¡2; x1 + x3 + 3x4 ¡ 2x5 = ¡2, x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0; x4 ¸ 0; x5 ¸ 0,

B0 = (A1; A2; A3).

66

Приложение

Метод возможных направлений

Любая основная задача выпуклого программирования сводится к задаче с линейной целевой функцией введением дополнительной переменной xn+1:

xn+1 ! min;

e x2X

e

X = fx = (x1; :::; xn; xn+1) 2 En+1j 'j(x1; :::; xn) · 0 (j = 1; m); f(x1; :::; xn) ¡ xn+1 · 0g:

Здесь f(x1; :::; xn) целевая функция исходной задачи.

Поэтому, не теряя общности, можно рассматривать основную задачу выпуклого программирования в виде

ãäå c заданный вектор, а 'j(x) (j = 1; m)g дифференцируемые выпуклые функции. В

дальнейшем предполагается, что выполнено условие регулярности Слейтера.

Пусть задана точка x 2 X. Через I(x) = fj 2 f1; :::; mgj 'j(x) = 0 g, как и ранее, обозна-

чим множество индексов активных ограничений, а для установления предела допускаемой погрешности при численном решении задачи (1) (2) введ¼м множество

J(x; ±) = fj 2 f1; :::; mgj ¡ ± < 'j(x) · 0 g;

ãäå ± заданный положительный параметр.

Пусть ±0 > 0 è x0 2 X некоторые начальные условия и пусть уже известно k-е приближение ±k > 0 è xk 2 X (k ¸ 0).

где последние условия это условия нормировки вектора p, которые позволяют ограничить

допустимую область рассматриваемой задачи. k

Обозначим оптимальное решение этой задачи через (¾k; p ). Так как нулевая точка яв-

jpij · 1 (i = 1; n):

67

Òàê êàê I(xk) µ J(xk; ±k), òî ¾k · ¾k, где через ¾k обозначено оптимальное значение целевой функции задачи B. Заметим, что решение этой задачи также всегда существует.

Теорема 1 (критерий оптимальности). Пусть (¾¤; p¤) оптимальное решение задачи B äëÿ x¤ 2 X. Тогда ¾¤ = 0 в том и только в том случае, когда x¤ оптимальное

решение задачи (1) (2).

Опишем одну k-ю итерацию метода возможных направлений. При этом уже имеем ±k > 0

è xk 2 X (k = 0; 1; :::).

Øàã 1. Решить задачу A (задачу (3) (6)). Пусть (¾k; pk) оптимальное решение. Если ¾k < ¡±k, то полагаем ±k+1 = ±k и переходим на шаг 2.

Åñëè ¡±k · ¾k < 0, то полагаем ±k+1 = ±k=2 и переходим на шаг 2. Если ¾k = 0, то решаем задачу B и находим решение ¾k; pk.

Åñëè ¾k = 0, то вектор xk согласно критерию оптимальности является оптимальным

решениеì исходной задачи. КОНЕЦ. k k. Åñëè ¾k < 0, то полагаем ±k+1 = ±k=2; p = p

Øàã 2. Определить величину шага ®k (в направлении Пусть ®kj наименьший положительный корень уравнения

'j(xk + ®pk) = 0:

Он может быть найден, например, методом дихотомии. Полагаем

®k = minf®kjj 1 · j · m g:

Øàã 3. Определить

xk+1 = xk + ®kpk;

J(xk+1; ±k+1) = fjj ¡ ±k+1 < 'j(xk+1) · 0 g; I(xk+1) = fjj 'j(xk+1) = 0 g:

Øàã 4. Если выполнены условия окончания процесса вычислений, то КОНЕЦ, иначе полагаем k := k + 1 и переходим на шаг 1.

В данном описании алгоритма не конкретизируются условия окончания вычислений, так как они могут существенно зависеть от рассматриваемой задачи.

Теорема 2. Пусть 'j(x) (j = 1; m) гладкие выпуклые функции, выполнено условие Слейтера и множество X ограничено. Тогда:

1) последовательность ff(xk)g сходится к величине f¤ = minx2X f(x), ò. å.

f(xk) =< c; xk >! f¤ ïðè k ! 1;

2) любая предельная точка x¤ последовательности fxkg есть точка минимума функции f(x) на множестве допустимых решений X.

К описанному методу решения можно сделать0 следующие замечания:

1. Если необходимо найти начальную точку x 2 X, то на первом этапе решается вспомогательная задача выпуклого программирования

» ! min

Эту задачу можно0 0 решать методом0 возможных0 направлений, взяв0 в качестве исходной любую точку (» ; x ) такую, что x 2 En; » ¸ max1·j·m 'j(x ). При выполнении условия

Слейтера через конечное число шагов получим »k · 0, чему соответствует допустимая на- чальная точка x0 := xk для задачи (1) (2).

68

После этого переходим ко второму этапу: поиску оптимального решения основной задачи

(1) (2).

2. На шаге 4 итерации метода возможных направлений в качестве критерия остановки можно взять оценку отклонения по целевой функции

j min < c; x > ¡ < c; xk > j · j min < c; x > ¡ < c; xk > j;

ò.å. íà k-й итерации необходимо решить задачу линейного программирования

<c; x >! min ;

Вычисления прекращаются, если правая часть верхнего неравенства станет меньше заданной величины.

3. Условия нормировки вектора направления p в задачах A è B необходимы для того,

чтобы обеспечить существование конечного решения. Если существование такого решения следует в конкретной задаче из каких-то других соображений, то некоторые из ограничений

jpij · 1 (i = 1; n)

можно убрать, что, естественно, упростит решаемую задачу.

Из привед¼нного ниже примера видно, что метод возможных направлений даже для сравнительно простых задач требует большого объ¼ма вычислений. Поэтому этот метод не рассматривается на семинарских занятиях, хотя в теоретическом курсе он излагается полностью. Мы посчитали необходимым привести хотя бы один иллюстративный пример в данном учебном пособии, так как на н¼м хорошо видны общие особенности численных методов решения задач выпуклого программирования.

Пример. Решить методом возможных направлений задачу

z(x) = x3 ! min

x1;x2;x3

при ограничениях

'1(x) ´ x21 + 2x1x2 + 2x22 ¡ 2x1 ¡ x2 ¡ x3 ¡ 2 · 0; '2(x) ´ x21 + x22 ¡ x1 + x2 ¡ x3 ¡ 3 · 0;

'3(x) ´ x21 + x1 ¡ 4x2 ¡ x3 + 3 · 0;

взяв в качестве начальной точку x0 = (1; ¡1; 9)>.

Решение. Возьм¼м ±0 = 0:5. Тогда J(x0; ±0) = I(x0) = f3g, òàê êàê '1(x0) = ¡11 <

¡±0; '2(x0) = ¡12 < ¡±0; '3(x0) = 0 > ¡±0.

Первая итерация. 1. Решаем задачу A:

¾! min;

<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;

<'03(x0); p > ¡¾ ´ 3p1 ¡ 4p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;

¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:

Так как в задачах A è B на каждой итерации первое ограничение < c; p >· ¾ всегда будет иметь вид p3 · ¾, а оптимальное решение таково, что ¾k · 0, то в любой точке xk имеем

69

неравенство pk3 · 0. В силу второго ограничения p3 ¸ ¡¾ + 3p1 ¡ 4p2. Правая часть здесь, p3 ограничена в силу имеющихся

ограничений. Это справедливо для всех рассматриваемых далее задач A è B. Поэтому

ограничение jp3j · 1 можно убрать.

Решив упрощ¼нную задачу A, получим p0 = (¡1; 1; ¡3:5)>; ¾0 = ¡3:5. Òàê êàê ¾0 < ¡±0, то полагаем ±1 = ±0 = 0:5.

2. Определение величины шага ®0. Двигаться следует вдоль луча

x1 = 1 ¡ ®; x2 = ¡1 + ®; x3 = 9 ¡ 3:5® (® > 0):

Наименьшим из положительных корней уравнений

'j(x0 + ®p0) = 0 (j = 1; 2; 3)

является ®0 = 2:1, ïðè ýòîì '2(x0 + ®0p0) ¼ 0.

3. Определение новой точки и множеств индексов. Новое приближение x1 определяется по формуле

x1 = x0 + ®0p0 = (¡1:1; 1:1; 1:65)>;

ïðè ýòîì '1(x1) = ¡1:34 < ¡±1; ¡±1 < '2(x1) = ¡0:03; '3(x1) = ¡2:94 < ¡±1. Значит,

J(x1; ±1) = f2g.

Заметим, что здесь max1·j·3 'j(x1) = ¡0:03 6= 0, но больше ¡±1. Параметр ± введ¼н именно для того, чтобы не требовалось находить точное значение корня ®. При малых значениях ±k достаточно найти такое ®kj > 0, ÷òî ¡±k < 'j(xk + ®kjpk) · 0, и выбрать минимальное из них по j. Конечно, чем точнее будут находиться корни, тем, вообще говоря,

лучше.

Вторая итерация. 1. Решаем задачу A:

¾! min;

<c; p > ¡¾ ´ p3 ¡ ¾ · 0;

<'02(x1); p > ¡¾ ´ ¡3:2p1 + 3:2p2 ¡ p3 ¡ ¾ · 0;

¡p1 ¡ 1 · 0; p1 ¡ 1 · 0; ¡p2 ¡ 1 · 0; p2 ¡ 1 · 0:

Решив эту задачу линейного программирования, получим p1 = (1; ¡1; ¡3:2)>; ¾1 = ¡3:2. Òàê êàê ¾1 < ¡±1, òî ±2 = ±1 = 0:5.

2. Определение величины шага ®1. Двигаемся вдоль луча

x1 = ¡1:1 + ®; x2 = ¡1:1 ¡ ®; x3 = 1:65 ¡ 3:2® (® > 0):

Наименьшим из положительных корней уравнений

'j(x1 + ®p1) = 0 (j = 1; 2; 3)

является ®1 = 0:45, ïðè ýòîì '3(x1 + ®1p1) ¼ 0.

3. Определение новой точки и множеств индексов. Новое приближение x2 определяется по формуле

x2 = x1 + ®1p1 = (¡0:65; 0:65; 0:21)>:

Òàê êàê '1(x2) = ¡1:14 < ¡±2; '2(x2) = ¡1:07 < ¡±2; ¡±2 < '3(x2) = ¡0:04 < 0, òî

J(x2; ±2) = f3g.

70