Методы оптимизации / n2

a12 = a21 = 0. Значит, соответствующая квадратичная форма неопределена, и в этих точках

экстремума нет.

Пример 3. В численных методах оптимизации широко используется такой подход. Вы- бирается начальная точка x0, а затем на каждом шаге выбираются так называемые на-

правление движения вектор pk 2 En и величина шага ®k > 0, и полагается xk+1 = xk + ®kpk (k = 0; 1; : : :). При этом в задаче минимизации выбирают pk è ®k так, чтобы выполнялось неравенство f(xk+1) · f(xk). В связи с этим представляет интерес ответ на

вопрос: "Является ли достаточным для локального минимума функции f(x) в точке x¤, ÷òî-

бы эта функция имела локальный минимум вдоль каждой прямой, проходящей через точку x¤?" В одномерном случае ответ, очевидно, будет положительным. Однако, как показывает

следующий пример, при n > 1 ýòî íå òàê.

Рассмотрим функцию f(x) = (x1¡x22)(2x1¡x22) и точку x¤ = (0; 0)>. Возьм¼м произволь- ную прямую x1 = ax2, проходящую через точку x¤ (вдоль прямой x2 = 0 получим функцию

f(x1; 0) = 2x21, которая очевидно имеет минимум при x1 = 0). Подставляя x1 = ax2 в функцию f(x), получаем функцию fe(x2) = f(ax2; x2) = (ax2 ¡ x22)(2ax2 ¡ x22). Åñëè a = 0, òî fe(x2) = x42, и в точке x2 = 0 она имеет локальный минимум. В противном случае выпишем производные первого и второго порядка:

fe0(x2) = (a ¡ 2x2)(2ax2 ¡ x22) + (ax2 ¡ x22)(2a ¡ 2x2); fe00(x2) = ¡2(2ax2 ¡ x22) + 2(a ¡ 2x2)(2a ¡ 2x2) ¡ 2(ax2 ¡ x22):

Отсюда получаем, что при a 6= 0 выполняются соотношения fe0(0) = 0 è fe00(0) = 4a2 > 0. Таким образом, вдоль каждой прямой, проходящей через точку x¤, функция f(x) имеет

локальный минимум. ¤ с помощью опи- Убедиться в отсутствии локального минимума функции f(x) в точке x

санных выше критериев не уда¼тся, так как матрица вторых производных оказывается положительно, но не строго положительно определ¼нной. Мы покажем отсутствие локального минимума "вручную". Рассмотрим три множества: X1 = fx j x1 > x22g; X2 = fx j 2x1 < x22g è X3 = fx j x22 > x1 > x22=2g. Ясно, что на первых двух множествах функция положительна, а на третьем отрицательна. Поскольку f(0; 0) = 0 и в каждой окрестности точки x¤

найдутся точки из всех тр¼х множеств, в этой точке экстремума нет.

Задачи

1.Найти точки локального экстремума функции f(x):

1)f(x) = x21 + 2x22 + 5x23 ¡ 2x1x2 ¡ 4x1x3 ¡ 2x3;

2)f(x) = x41 + x22 ¡ 4x1x2;

3)f(x) = x1ex1 ¡ (1 + ex1 ) sin x2.

2.Показать, что функция f(x) имеет бесконечное множество локальных максимумов и ни одного локального минимума:

11

1) f(x) = ¡(x22 + 1)(sin x1 + 2); 2) f(x) = sin x1 ¡ x22.

2.3. Задачи с ограничениями равенствами. Метод неопредел¼нных множителей Лагранжа

Теперь перейд¼м к анализу задач условной оптимизации в En и рассмотрим случай ограничений равенств, т. е. решается задача:

2) все функции Fj(x) определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности U"(x0) точки x0, в которой Fj(x0) = 0

(j = 1; m; " > 0);

3) якобиан

Тогда: 0 0

а) в некоторой окрестности точки x , содержащейся в U"(x ), система уравнений (3) определяет x1; : : : ; xm как однозначные функции от xm+1; : : : ; xn:

xi = fi(xm+1; : : : ; xn) (i = 1; m);

á) ïðè xi = x0i (i = m + 1; n) эти функции принимают значения x0i (i = 1; m):

fi(x0m+1; : : : ; x0n) = x0i (i = 1; m);

в) все функции fi(xm+1; : : : ; xn) (i = 1; m) непрерывны и имеют непрерывные частные

производные по всем аргументам.

Следует обратить внимание на локальный характер теоремы существования неявных функций: речь ид¼т вс¼ время о некоторой окрестности рассматриваемой точки. Но и в таком виде эта теорема полезна.

Рассмотрим теперь задачу (1) о нахождении экстремума функции f(x) на множестве X,

определяемом условием (2). Предполагается, что функции f(x); 'j(x) (j = 1; m) непрерывны и непрерывно дифференцируемы в окрестности U"(x¤) некоторой экстремальной точки x¤. Пусть в этой точке ранг матрицы частных производных

12

равен m. Для определ¼нности будем считать, что определитель

Тогда, в силу теоремы о неявных функциях, в некоторой окрестности точки x¤ система уравнений

ãäå fi неявные функции, определяемые системой (30). Таким образом, вопрос об условном экстремуме сводится к вопросу о безусловном экстремуме для сложной функции

в точке x¤. Эти соображения приводят к методу нахождения точек, доставляющих экс-

тремум функции при ограничениях-равенствах. Если каким-то образом уда¼тся разрешить систему уравнений (30) относительно переменных xi (i = 1; m) и найти явные выражения

для функций (5), то дело сводится к нахождению безусловного экстремума для функции (6). Этот метод называется методом исключения зависимых переменных. Можно указать другой путь для нахождения экстремальных точек, не предполагая, что мы имеем явные выражения для функций (5), хотя существование этих функций использоваться будет. Лагранж предложил метод, в котором все переменные сохраняют одинаковую роль.

Метод неопредел¼нных множителей Лагранжа. Введ¼м в рассмотрение новые переменные yj (j = 1; m) и функцию

Xm

F (x; y) = f(x) + yj'j(x):

j=1

Переменные yj называются неопредел¼нными множителями Лагранжа, а функция F (x; y)

функцией Лагранжа.

Пусть в точке x¤, удовлетворяющей системе (30), выполнены условия теоремы о неявных функциях. Тогда, для того чтобы точка x¤ была точкой экстремума задачи (1) (2), необходимо существование таких чисел yj¤ (j = 1; m); что выполняются равенства

Условия (8), очевидно, эквивалентны условиям (30). При решении задачи (1) (2) дан-

ным методом существенную роль играет предположение о ранге матрицы (4). Чтобы быть уверенным в том, что не пропущена ни одна подозрительная точка, следует предварительно установить, что это предположение выполняется во всех точках множества X.

Пример 1. Найти экстремум функции f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 равенстве '(x) = x1x2x3x4 ¡ a4 = 0 (a > 0) в области X = fxi > 0 j i = 1; ng.

13

Решение. Применим метод множителей Лагранжа (условие на ранг матрицы в области X очевидно выполнено). Введ¼м множитель y и функцию F (x; y) = f(x) + y'(x). Система

уравнений (7) (8) принимает вид

x1x3x4 = x2x3x4: Отсюда следует, что x1 = x2 = x3 = x4. Подставляя в последнее уравнение,

получаем, что xi = a äëÿ âñåõ i = 1; 2; 3; 4:

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы

где функция принимает наибольшее и наименьшее значения, вытекает из теоремы Вейерштрасса. Очевидно, что ранг матрицы (2x1; 2x2; : : : ; 2xn) равен нулю только в точке 0,

которая не принадлежит множеству X. Рассмотрим функцию Лагранжа

Из курса алгебры известно, что система из n линейных уравнений с n неизвестными с

нулевой правой частью имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т. е. в нашем случае имеем

Åñëè y корень уравнения (10) (т. е. собственное число матрицы A), то существует и ненулевое x 2 X, удовлетворяющее системе (9). Но определение этих значений для нас ин-

тереса не представляет, так как нам надо найти только наибольшее и наименьшее значения целевой функции.

Умножив i-е уравнение системы (9) на xi

Xn

f(x) ¡ y x2i = 0;

i=1

что, в силу условия x 2 X; приводит к равенству f(x) = y. Таким образом, искомые наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на множестве X совпадают с наибольшим и наименьшим из собственных чисел матрицы A.

14

Пример 3. Пусть тр¼хосный эллипсоид x21=a21 + x22=a22 + x23=a23 = 1; ãäå a1 > a2 > a3 > 0, пересеч¼н плоскостью b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0 (ãäå âñå bi 6= 0), проходящей через его центр.

Умножив эти уравнения на xi и сложив (с уч¼том ограничений), получим, что y1 = ¡f(x).

Убедимся, что (1+y1=a2i ) =6 0 äëÿ âñåõ i. Действительно, если, например, (1+y1=a21) = 0, òî y2 = 0 и, следовательно, x2(1 + y1=a22) = 0 è x3(1 + y1=a23) = 0. Из условия b1x1 +

b2x2 + b3x3 = 0 следует, что по крайней мере одно из чисел x2; x3 не равно нулю. Но тогда

Отсюда с уч¼том ранее доказанного равенства f(x) = ¡y1 непосредственно определяются

интересующие нас значения целевой функции. 2

Пример 4. Найти расстояние между параболой y = x и прямой x ¡ y ¡ 2 = 0.

Решение. Прежде всего сформулируем оптимизационную задачу. Обозначим произвольную точку, принадлежащую параболе, через (x1; y1), а прямой через (x2; y2). Тогда

наша задача сводится к минимизации функции f(x1; y1; x2; y2) = (x1 ¡ x2)2 + (y1 ¡ y2)2 ïðè условиях y1 ¡ x21 = 0 è x2 ¡ y2 ¡ 2 = 0. Матрица (4) имеет вид

15

и е¼ ранг, очевидно, равен двум. Выпишем функцию Лагранжа F (x; y; z) = (x1 ¡ x2)2 + (y1 ¡ y2)2 + z1(y1 ¡ x21) + z2(x2 ¡ y2 ¡ 2). Отсюда получаем систему

Сложив почленно первое равенство со вторым, а третье с четв¼ртым, получим условия z2 = 2x1z1 è z1 = z2. Åñëè z1 = z2 = 0; то из системы (12) следует, что y1 = y2 è x1 =

x2, т. е. прямая и парабола пересекаются. Однако в нашем случае это не так, поскольку система уравнений y = x2; x ¡ y ¡ 2 = 0 несовместна. Значит, z1 6= 0, è x1 = 1=2: Тогда

y1 = 1=4. Сложив в системе (12) второе и четв¼ртое уравнения и подставив найденные значения переменных, получим соотношение x2 + y2 = x1 + y1 = 3=4. Òàê êàê x2 = y2 + 2;

Решение. Òàê êàê x1 = (x2)2=3 ¸ 0, то оптимальное решение задачи есть x¤ = (0; 0). Если ввести функцию Лагранжа F (x; y) = x1 +y(x31 ¡x22) и затем решать систему уравнений

то нетрудно убедиться, что она несовместна. Причиной этого противоречия является то, что ранг матрицы (3x21; ¡2x2) равен 0 в точке x¤ = (0; 0). Следовательно, метод Лагранжа

в точке (0; 0) неприменим, так как не выполнены условия теоремы о неявных функциях.

Задачи

1.Решить задачи условной оптимизации:

1)f(x) = x1x2x3 ¡! extrX ,

X = fx j x21 + x22 + x23 = 1; x1 + x2 + x3 = 0g;

2)f(x) = x1x2x3 ¡! extrX ,

X = fx j x1 + x2 + x3 = 5; x1x2 + x2x3 + x1x3 = 8g;

3)f(x) = x1x22x33 ¡! extrX ,

X = fx j x1 + 2x2 + 3x3 = a; x1 > 0; x2 > 0 x3 > 0g (a > 0);

4)f(x) = x1 + x2 + x3 ¡! extrX ,

X = fx j x21 + x22 = 1; x1 + x2 ¡ x3 = 0g;

5)f(x) = x2 ¡! extrX ,

X = fx j x31 + x32 ¡ 3x1x2 = 0g;

6)f(x) = x1 + x2 + x23 + 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) ¡! extrX ,

X = fx j x21 + x22 + x3 = 1g.

16

2.На сфере x2 + y2 + z2 = 1 найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до N данных точек (xi; yi; zi)>; i = 1; N была бы минимальна.

3.Данное положительное число a разложить на n положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была бы наименьшей.

4.Найти наибольшее и наименьшее значения каждой переменной, для которых выполняется равенство (x2 + y2 + z2)2 = a2(x2 + y2 ¡ z2) (a > 0).

5.Найти кратчайшее расстояние от точки (x0; y0; z0)> до плоскости a1x1 + a2x2 + a3x3 +

a0 = 0.

2.4. Задачи с ограничениями неравенствами

В этом разделе рассматривается задача f(x) ¡! extrx2X , область допустимых значений которой определяется как X = fx 2 En j 'j(x) · 0 (j = 1; m)g.

Пусть функции 'j(x) (j = 1; m) определены, непрерывны и имеют непрерывные производные в En, а функция f(x) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные на X. Если множество X

'j), то по теореме Вейерштрасса в множестве X существуют точки, в которых целевая функция f(x) достигает своих наименьшего и наибольшего значений. Если искомая точка

является внутренней точкой множества X, то в ней функция имеет локальный максимум

или минимум, так что интересующая нас точка содержится среди подозрительных точек, в которых производная равна нулю. Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция f(x) может достигать и на границе множества X. Поэтому, для того чтобы найти

наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на множестве X, нужно найти все подо-

зрительные внутренние точки, вычислить значения целевой функции в них и сравнить со значениями функции в подозрительных граничных точках множества X. Заметим, что при

индексов I ½ f1; 2; : : : ; mg. Ïðè I = ; имеем задачу безусловной оптимизации. Для поис-

ка всех подозрительных точек нужно перебрать все подмножества I мощности не более n.

Наибольшее и наименьшее из значений функции в найденных точках и будут искомыми наибольшим и наименьшим значениями функции f(x).

К сожалению, число рассматриваемых подзадач может оказаться очень большим. Поэтому этот метод трудно применять в задачах большой размерности n с большим числом

ограничений m. Однако для задач небольшой размерности такой подход применять целесо-

образно, поскольку не существует другого эффективного метода нахождения наименьших и наибольших значений целевой функции в задаче математического программирования.

Если область X не ограничена, то обязательно надо рассматривать поведение целевой

функции при удалении точек множества в бесконечность. Эта задача в общем случае тоже сложная, но иногда е¼ уда¼тся решить. При этом если уда¼тся обнаружить такую кривую xi = Ãi(t) (i = 1; n), ÷òî x(t) 2 X ïðè âñåõ t ¸ 0 è f(x(t)) ! §1 ïðè t ! +1, то целевая

на множестве X = fx j jx1j + jx2j · 1g.

Решение. В данном примере множество X ограничено. Внутри множества X производ-

íûå fx01 (x) = 2x1¡x2 è fx02 (x) = ¡x1+2x2 обращаются в нуль только в точке (0; 0)>. Граница множества X определяется четырьмя ограничениями равенствами: x1 + x2 = 1; ¡x1 + x2 =

17

1; x1 ¡ x2 = 1 è ¡ x1 ¡ x2 = 1. Так как функция f(x) ч¼тная, то достаточно рассмот-

реть только первые два из них. Применим метод исключения переменных. Вдоль прямой x1 + x2 = 1 имеем функцию одного переменного fe(x1) = f(x1; 1 ¡ x1) = 3x21 ¡ 3x1 + 1, производная которой fe0(x1) = 6x1 ¡3 обращается в нуль при x1 = 1=2. Тогда x2 = 1=2, è ìû

получили точку (1=2; 1=2)>. Аналогично, f(x1; 1 + x1) = x21 + x1 + 1, и, приравняв нулю е¼ производную, получим точку (¡1=2; 1=2)>. Из ч¼тности функции f(x) следует, что точки

(¡1=2; ¡1=2)> è (1=2; ¡1=2)> также являются подозрительными.

Точками пересечения всех пар прямых, определяющих множество X, очевидно, будут точки (0; 1)>; (0; ¡1)>; (1; 0)> è (¡1; 0)>. Все они принадлежат X.

Вычислим значения целевой функции в найденных точках. Имеем f(0; 0) = 0; f(1=2; 1=2) =

f(¡1=2; ¡1=2) = 1=4; f(¡1=2; 1=2) = f(1=2; ¡1=2) = 3=4; f(1; 0) = f(¡1; 0) = f(0; 1) =

f(0; ¡1) = 1: Таким образом, наименьшее значение функция f достигает в начале коорди-

нат, а наибольшее в вершинах множества X.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x1x22 + x21x2 ¡ 3x21 ¡ 3x22 на множестве X = fx j ¡ x1 ¡ x2 + 1 · 0; x1 + x2 ¡ 16 · 0g.

Решение. В данном примере множество X неограничено (можно записать ограничения задачи в виде 1 · x1 +x2 · 16 и убедиться, что X представляет собой полосу, заключ¼нную

между двумя прямыми).

Сначала рассмотрим задачу безусловной оптимизации функции уравнений

½

fx01 = x22 + 2x1x2 ¡ 6x1 = 0; fx02 = 2x1x2 + x21 ¡ 6x2 = 0:

Вычтя одно равенство из другого, получим, что (x2 ¡x1)(x1 + x2 + 6) = 0, ò. å. ëèáî x1 =

x2, ëèáî x1 + x2 = ¡6. Поскольку точки, удовлетворяющие второму равенству, множеству X не принадлежат, то x1 = x2 и из системы (14) следует, что 3x21 ¡6x1 = 0. Получаем точки x1 = x2 = 0 è x1 = x2 = 2, из которых только вторая является допустимой.

Исследуем поведение функции на границе области X. Функция Лагранжа имеет вид F (x; y) = f(x) + y(x1 + x2 ¡ t), ãäå t = 1 èëè t = 16. Получаем систему уравнений

½

Fx01 = x22 + 2x1x2 ¡ 6x1 + y = 0; Fx02 = 2x1x2 + x21 ¡ 6x2 + y = 0:

Решая е¼ аналогично системе (1), получаем, что x1 = x2. Таким образом, при t = 1 è t = 16 имеем соответственно точки (1=2; 1=2) è (8; 8).

Поскольку прямые x1 + x2 = 1 è x1 + x2 = 16 не пересекаются, множество X не имеет вершин. Подставляя найденные значения в целевую функцию, получим f(2; 2) =

¡8; f(1=2; 1=2) = ¡5=4; f(8; 8) = 640:

Так как множество X неограничено, надо исследовать поведение функции f(x) íà áåñ-

конечности. Рассмотрим семейство прямых x1 = t; x2 = s ¡t; ãäå t 2 E1 è 1 · s · 16. Ясно, что это семейство прямых покрывает вс¼ множество X. Тогда f(t; s ¡t) = ¡(s + 6)t2 + (s2 +

6s)t ¡ 3s2. Поскольку ¡(s + 6) < 0 ïðè 1 · s · 16, òî f(t; s ¡ t) ! ¡1 ïðè t ! 1. Таким образом, целевая функция неограничена снизу на множестве X, а е¼ максимум достигается

в точке (8,8).

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

жестве X = fx 2 E3 j x1 + x2 + x3 · 6; x1x2 + x2x3 + x1x3 · 8g.

Решение. Эта функция имеет много локальных экстремумов, которые можно найти после долгих и утомительных вычислений с помощью метода Лагранжа. Однако, если заметить, что множество X неограничено, и сразу проанализировать поведение целевой

функции на бесконечности, можно существенно сократить свою работу.

18

Рассмотрим точки вида x1(t) = 1; x2(t) = 1; x3(t) = ¡t. Тогда ограничения задачи примут вид ¡t · 4 è ¡t · 7=2. Следовательно, для любого t ¸ 0 эти точки являются

допустимыми. При этом f(1; 1; ¡t) = ¡t ! ¡1 ïðè t ! +1. Значит, целевая функция неограничена снизу на X.

Пусть теперь x1(t) = 1; x2(t) = ¡1; x3(t) = ¡t. Ограничения принимают вид ¡t · 6 è ¡1 · 8, т. е. точки допустимы при t ¸ 0. Íî f(1; ¡1; ¡t) = t ! +1 ïðè t ! +1.

Таким образом, целевая функция неограничена ни снизу, ни сверху на рассматриваемом множестве, и необходимости в поиске локальных экстремумов (подозрительных точек) нет.

Задачи

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на множестве X:

1) f(x) = x1x2 ¡ x21 ¡ 2x22 + x1,

X = fx j x1 2 [0; 1]; x2 2 [0; 1]g;

2) f(x) = x31 ¡ 4x21 + 2x1x2 ¡ x22,

X= fx j jx1j · 5; jx2j · 1g;

3)f(x) = x31 + x32 ¡ 3x1x2,

X= fx j x1 2 [0; 2]; x2 2 [¡1; 2]g;

4)f(x) = (x1 ¡ 5)2 + (x2 ¡ 7)2,

X= fx j x1 + 2x2 · 12; x1 + x2 · 9; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0g;

5)f(x) = (x1 ¡ 3)2 + (x2 ¡ 5)2,

X= fx j x21 + x22 · 10; 2x1 + 2x2 = 5g;

6)f(x) = x1(¼ ¡ x1) sin x2 + x2 cos x1,

X= fx j x1 2 [0; ¼]; x2 ¸ 0g;

7)f(x) = x1 + x2 + x3,

X= fx j x21 + x22 · x3; x3 · 1g;

8)f(x) = 2x1x2 + x3,

X= fx j x21 + x22 = 1; 0 · x3 · 2x1 + 1g;

9)f(x) = x21 ¡ x22,

X= fx j x21 + x22 · 16g;

10)f(x) = x21 + x22 ¡ 12x1 + 16x2,

X= fx j x21 + x22 · 25g;

11)f(x) = arctg x1 ¡ ln x2,

X= fx j x21 + x22 · 4; x1 ¸ 0; x2 ¸ 1g;

12)f(x) = x1 + x2 ¡ x3,

X= fx j x1x2x3 · 1; ¡x1 + x2 ¡ x3 · 0g;

13)f(x) = x21 + x1x2 + x22 + 3jx1 + x2 + 2j,

X= E2;

19

14) f(x) = x21 + x22 + 2®jx1 + x2 ¡ 1j; ® > 0,

X= E2;

15)f(x) = x21 + x22 + 2 maxfx1; x2g,

X= E2.

3.Выпуклое программирование

3.1. Выпуклые множества и функции; квазивыпуклые функции

Поиск наибольших и наименьших значений функции на допустимом множестве упрощается, если ограничиться задачей минимизации выпуклых функций на выпуклых множествах.

Множество X ½ En называется выпуклым если для любых x; y 2 X è ® 2 [0; 1] имеем, что z = ®x + (1 ¡ ®)y 2 X, т. е. выпуклое множество вместе с любыми двумя своими

точками должно содержать и отрезок, соединяющий эти две точки. Выпуклой комбинацией точек x1; x2; : : : ; xm называется точка z = ®1x1 + ®2x2 + : : : + ®mxm, ãäå âñå ®i ¸ 0 è

®1 + ®2 + : : : + ®m = 1.

Теорема 1. Выпуклое множество X содержит выпуклые комбинации всех своих то-

÷åê.Функция f(x), определ¼нная на выпуклом множестве X, называется выпуклой, если для любых x; y 2 X è ® 2 (0; 1) выполняется неравенство f(®x + (1 ¡®)y) · ®f(x) + (1 ¡®)f(y). Если для любых различных x è y указанное неравенство является строгим, то функция называется строго выпуклой. Функция f(x) называется (строго) вогнутой, если функция ¡f(x) (строго) выпукла.

Выпуклые функции обладают следующими свойствами.

Теорема 2. Выпуклая функция f(x), определ¼нная на выпуклом множестве X, непре-

рывна в каждой внутренней точке этого множества.

Теорема 3. Функция f(x), дифференцируемая на выпуклом множестве X, выпукла тогда и только тогда, когда для любых x; y 2 X будет hf0(x); y ¡ xi · f(y) ¡ f(x).

Теорема 4. Функция f(x), определ¼нная и дважды непрерывно дифференцируемая на

X, и любого числа ¸ множество fx 2 X j f(x) · ¸g выпукло.

Теорема 6 (неравенство Йенсена). Если функция f(x) выпукла на выпуклом множестве X, òî

ãäå xi 2 X; ®i ¸ 0 äëÿ i = 1; m è ®1 + : : : + ®m = 1.

Экстремальные свойства задачи минимизации выпуклой функции множестве X содержатся в следующих утверждениях.

Теорема 7. Если выпуклы функция f(x) и множество X, то любая точка локального минимума x¤ 2 X будет оптимальной для задачи минимизации функции f(x) íà

множестве X.

Теорема 8. Если выпуклы функция f(x) и множество X, то множество X¤ мальных точек задачи минимизации функции f(x) на множестве X выпукло.

Теорема 9. Если функция f(x) строго выпукла на выпуклом множестве X и точка x¤ 2 X оптимальна, то она единственна, т. е. для всех x 2 X; x =6 x¤ справедливо неравенство f(x) > f(x¤).

20