Методы оптимизации / n2

Близкие экстремальные свойства имеет задача минимизации квазивыпуклой функции на выпуклом множестве. Функция f(x), определ¼нная на выпуклом множестве X, íàçû-

вается квазивыпуклой, если для любых x; y 2 X è ® 2 (0; 1) выполняется неравенство f(®x + (1 ¡ ®)y) · max(f(x); f(y)). Если при любых x 6= y указанное неравенство является строгим, то функция f(x) называется строго квазивыпуклой.

Пример. Показать, что множество X = fx 2 En j Ax ¸ a; Bx = bg выпукло. Здесь A è B это вещественные матрицы размера m £ n è l £ n соответственно, a 2 Em; b 2 El.

Решение. Возьм¼м две произвольные точки x; y 2 X и положим z = ®x + (1 ¡ ®)y, ãäå

® 2 [0; 1]. Тогда Az = ®Ax + (1 ¡ ®)Ay ¸ ®a + (1 ¡ ®)a = a è Bz = ®Bx + (1 ¡ ®)By =

®b + (1 ¡ ®)b = b. Значит точка z лежит в X, т. е. множество X выпукло.

Задачи

1.Показать, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло.

2.Пусть функции fj(x) (j = 1; m) выпуклы на En. Показать, что множество X =

fx jfj(x) · 0 (i = 1; m)g выпукло.

3.Доказать, что любая выпуклая функция является квазивыпуклой. Привести пример, показывающий, что обратное, вообще говоря, не верно.

4.Пусть функции fj(x) (j = 1; m) выпуклы на выпуклом множестве X. Показать, что функция f(x) = a1f1(x) + : : : + amfm(x) выпукла на X åñëè aj ¸ 0 (j = 1; m).

5.Пусть функции fi(x) (i 2 I) выпуклы на выпуклом множестве X. Показать, что функция f(x) = supi2I fi(x) также выпукла на X.

6.Пусть B симметрическая матрица размера n £ n, à p 2 En. Показать, что функция

f(x) = hBx; xi + hp; xi (строго) выпукла тогда и только тогда, когда B (строго) положи-

тельно определена.

7. Пусть f(t) выпуклая неубывающая функция на [a; b] (возможно, a = ¡1 è/èëè b =

+1). Пусть g(x) выпукла на выпуклом множестве X ½ En, ïðè÷¼ì g(x) 2 [a; b] ïðè âñåõ x 2 X. Доказать, что функция h(x) = f(g(x)) выпукла на X.

8.Пусть f(x) выпукла и неотрицательна на некотором выпуклом множестве X. Доказать, что g(x) = (f(x))p выпукла для любого целого p ¸ 1.

9.Пусть выпуклая дифференцируемая функция f(x) в некоторой точке x1 2 En óäî- влетворяет соотношению hf0(x1); x ¡ x1i ¸ 0 для любого x 2 En. Доказать, что x1 точка

глобального минимума функции f(x).

10.Доказать, что выпуклая функция f(x), определ¼нная на выпуклом замкнутом множестве X и отличная от константы, достигает своего глобального максимума на границе множества X.

11.Показать, что для любой квазивыпуклой функции f(x), определ¼нной на выпуклом множестве X, и любого числа ¸, множество Z = fx 2 X j f(x) · ¸g выпукло.

12.Показать, что если функции fj(x) (j = 1; m) квазивыпуклы, то множество Z = fx 2

Xj fj(x) · 0 (j = 1; m)g выпукло.

13.Доказать, что функция f(x) квазивыпукла на выпуклом множестве X тогда и только

тогда, когда множество Z(x) = fy 2 X j f(y) · f(x)g выпукло для каждого x 2 X.

14. Доказать, что если f(x) строго квазивыпукла на выпуклом множестве X è x¤ 2 X является точкой е¼ локального минимума, то x¤ является единственной точкой глобального

минимума функции f(x) на множестве X.

15. Пусть f(x) è g(x) выпуклая и вогнутая функции соответственно, определ¼нные на выпуклом множестве X, прич¼м для любого x 2 X выполняется неравенство f(x) ¸ g(x). Доказать, что существует линейная функция h(x), такая что f(x) ¸ h(x) ¸ g(x) для каждого x 2 X.

16. При каких значениях параметра a множество X будет выпуклым:

à) X = f(x; y) 2 E2 j a(x ¡ y2) = 0; x + y = 1g;

21

á) X = f(x; y) 2 E2 j a(x ¡ y2) = 0; x + y = ag; â) X = f(x; y) 2 E2 j a(x ¡ y2) · 0; x + y = ag; ã) X = f(x; y) 2 E2 j x2(a2 + 3a + 2) ¡ y ¸ 0g;

ä) X = f(x; y) 2 E2 j ex(a2 ¡ 5a + 6) ¡ y(a2 + 2) · 0g; å) X = f(x; y) 2 E2 j y = eax; y · xg;

æ) X = f(x; y) 2 E2 j x2=(a2 + 1) + (y + a)2 · 1; x2 + (y ¡ 1)2 · a; g; ç) X = f(x; y) 2 E2 j y · ex; y · axg;

è) X = f(x; y) 2 E2 j x + y ¸ 1; y · ax2g;

ê) X = f(x; y) 2 E2 j y ¸ ln x; y ¸ ax; x > 0g?

17. Исследовать функцию f(x) на выпуклость или вогнутость в области X:

à) f(x) = x1x2; X = fx j x1 ¸ 0; x2 ¸ 0g;

á) f(x) = 1=x1 + 1=x2; X = fx j x1 ¸ 0; x2 ¸ 0g;

â) f(x) = x2 ¡ jx1 ¡ 2j; X = E2;

ã) f(x) = x61 + x22 + x23 + x24 + 10x1 + 5x2 ¡ 3x4 ¡ 20; X = E4; ä) f(x) = e2x1+x2 ; X = E2;

å) f(x) = ¡x52 + x23=2 + 7x1 ¡ x3 + 6; X = fx j xi · 0; i = 1; 2; 3g; æ) f(x) = 3x21 + x22 + 2x23 + x1x2 + 3x1x3 + x2x3 + 3x2 ¡ 6; X = E3;

ç) f(x) = x31 + 2x23 + 10x1 + x2 ¡ 5x3 + 6; X = fx j xi · 0; i = 1; 2; 3g; è) f(x) = 5x21 + x22=2 + 4x23 + x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 + x3 + 1; X = E3:

18. При каких значениях параметров a; b; c функция f(x) будет выпуклой:

à) f(x) = ax2 + bx + c;

á) f(x) = ax21 + 2bx1x2 + cx22; â) f(x) = ae2x + bex + c?

3.2. Критерий оптимальности; теорема Куна Таккера

Данный раздел посвящ¼н рассмотрению вопроса об оптимальности найденной точки в основной задаче выпуклого программирования.

Рассматривается задача

Если функции f(x) è 'j(x) (j = 1; m) выпуклы, то задача (1) (2) называется основной задачей выпуклого программирования. Пусть задана некоторая точка x¤ 2 X. Ограниче-

ние называется активным в этой точке, если 'j(x¤) = 0. Множество индексов активных ограничений обозначим через

I(x¤) = fj 2 f1; : : : ; mg j 'j(x¤) = 0g:

определ¼нная для всех x 2 En; y ¸ 0, называется функцией Лагранжа для задачи выпуклого программирования. Пара (x¤; y¤), ãäå x¤ 2 En; y¤ ¸ 0; называется седловой точкой функции F (x; y), åñëè F (x¤; y) · F (x¤; y¤) · F (x; y¤) äëÿ âñåõ x 2 En; y ¸ 0. В дальнейшем

будем считать, что функции f(x) è 'j(x) (j = 1; m) (и, следовательно, функция Лагранжа) непрерывно дифференцируемы.

22

Теорема 10. Для того чтобы точка x¤ 2 X была точкой глобального минимума основ-

ной задачи выпуклого программирования (1) (2), достаточно существования таких чисел yj ¸ 0 (j 2 I(x¤)), что выполняется равенство

X

¡f0(x¤) = yj'0j(x¤):

j2I(x¤)

Другими словами, если (x¤; y¤) седловая точка функции Лагранжа, то x¤ ýòî òî÷-

ка глобального минимума для задачи выпуклого программирования. Чтобы выполнялось обратное утверждение, необходимо наложить дополнительное условие на множество X. Åñ-

ли существует такая точка x 2 X, ÷òî 'j(x) < 0 äëÿ âñåõ j = 1; m, то говорят, что это

множество удовлетворяет условию регулярности Слейтера.

Теорема Куна Таккера (дифференцируемый случай). Если функции

(j = 1; m) выпуклы, а множество X = fx j 'j(x) · 0 (j = 1; m)g удовлетворяет условиям регулярности Слейтера, то для оптимальности точки x¤ 2 X необходимо и достаточно

существования таких чисел yj ¸ 0 (j 2 I(x¤)), ÷òî

X

¡f0(x¤) = yj'0j(x¤): (3)

j2I(x¤)

Как показывает следующая теорема, если все ограничения линейны, то условия регулярности Слейтера в теореме Куна Таккера не обязательны.

Теорема 11. Для того чтобы точка x¤ 2 X была точкой глобального минимума вы-

пуклой функции f(x) на множестве X = fx j haj; xi ¡ bj · 0 (j = 1; m)g, необходимо и достаточно существование таких чисел yj ¸ 0 (j = 1; m), ÷òî

В Приложении рассматривается метод возможных направлений, в котором используется следующая ¤

Теорема 12. Для того чтобы точка x 2 X была точкой глобального минимума задачи выпуклого программирования (1) (2), достаточно, чтобы для всех векторов s, óäî-

влетворяющих системе h'0j(x¤); si · 0 (j 2 I(x¤)), выполнялось условие hf0(x¤); si ¸ 0.

Рассмотрим примеры применения привед¼нных выше теорем. Общая схема проверки оптимальности точки x¤ для задачи (1) (2) такова:

1.Убедиться, что решаемая задача действительно является задачей выпуклого программирования (т. е., что все функции выпуклы и задача на минимум).

2.Проверить, что X удовлетворяет условиям Слейтера (кроме случая линейных огра-

23

строго положительно определена. Выпуклость функций '1(x) = x21 + x22 ¡ 4; '2(x) = x21 ¡ x2; '3(x) = ¡x1 ¡ x2 + 1 è '4(x) = ¡x1 также нетрудно проверить.

Поскольку в точке x = (0:5; 1) выполняются неравенства 'j(x) < 0 äëÿ âñåõ j = 1; 2; 3; 4,

то множество X = fx j 'j(x) · 0; j = 1; 2; 3; 4g удовлетворяет условию Слейтера. Подставляя точки x0 è x00 последовательно в каждое из ограничений, убеждаемся, что

обе эти точки лежат в X и находим множества индексов активных ограничений: I(x0) =

f1; 4g; I(x00) = f2; 3g:

неотрицательно, точка x00 является точкой глобального минимума функции f(x) на множе-

ñòâå X.

Пример 2. Проверить точку x = (¡1=2; 1=4) на оптимальность в задаче f(x) = ex2 ¡!

min при ограничениях '1(x) ´ (x1 + 1)2 ¡ x2 · 0; '2(x) ´ (x1 ¡ 1=2)2 + (x2 + 3=4)2 ¡ 2 · 0.

Решение. Нетрудно убедиться, что данная задача является задачей выпуклого программирования. Поскольку '1(x) = '2(x) = 0; точка x является допустимой и I(x) = f1; 2g.

Система (3) для этой точки имеет вид ¡f0(x) = y1'01(x) + y2'02(x), ò. å. y1 ¡ 2y2 = 0; ¡y1 + 2y2 = ¡e1=4. Очевидно, что эта система несовместна. Однако делать вывод о неоптимально-

сти точки x мы не можем, поскольку не были проверены условия Слейтера. И действитель-

но, с помощью геометрического построения области допустимых значений можно убедиться, что она состоит из единственной точки x. Следовательно, условие Слейтера не выполнено,

а точка x является оптимальным решением (как единственная допустимая точка). Пример 3. Проверить точки x0 = (¡3; 1; 2) è x00 = (¡5; 3; 1) на оптимальность в задаче

f(x) = x21+2x22+30x1¡16x3 ¡! min при ограничениях 5x1+3x2¡4x3 = ¡20; x1¡6x2+3x3 · 0; x3 ¸ 0.

Решение. Целевая функция задачи выпукла, а ограничения линейны. Следовательно, имеем задачу выпуклого программирования, прич¼м проверка условий регулярности Слейтера не требуется (заметим, кстати, что ввиду наличия ограничения равенства условие Слейтера очевидно не выполняется).

Прежде всего, запишем ограничения задачи в стандартной форме, заменив ограничение равенство на два неравенства. Имеем '1(x) ´ 5x1 + 3x2 ¡ 4x3 + 20 · 0; '2 = ¡'1(x) ´

¡5x1 ¡ 3x2 + 4x3 ¡ 20 · 0; '3 ´ x1 ¡ 6x2 + 3x3 · 0; '4(x) ´ ¡x3 · 0:

Легко проверить, что I(x1) = I(x2) = f1; 2g. Значит, система (3) для обеих точек имеет

âèä ¡f0(x) = y1'01(x) + y2'02(x) = (y1 ¡ y2)'01(x). Мы использовали условие '2(x) ´ ¡'1(x), которое всегда выполняется при замене ограничений равенств на два неравенства. Поскольку разность двух неотрицательных чисел может принимать значения любого знака, а любое число можно представить в виде разности двух неотрицательных чисел, то, осуществив замену y = y1 ¡ y2, приходим к выводу, что для оптимальности точки x¤ 2 X в случае

линейных ограничений необходимо и достаточно существования таких чисел yj ¸ 0, ñî-

ответствующих ограничениям неравенствам, и произвольных чисел yj, соответствующих ограничениям равенствам, что

24

X

¡f0(x¤) = yj'0j(x¤):

j2I(x¤)

Заметим, что ограничения равенства всегда0 являются активными ограничениями.

В рассматриваемом примере для точки x получим систему ¡24 = 5y; ¡4 = 3y; 16 = ¡4y, которая, очевидно, несовместна. Значит, точка x0 не оптимальна.

Для точки x00 система принимает вид ¡20 = 5y; ¡12 = 3y; 16 = ¡4y, решением которой

является y = ¡4. Поскольку множитель y соответствует ограничению равенству, для него нет ограничения по знаку. Следовательно, точка x00 оптимальна.

Задачи

Проверить указанные точки на оптимальность в задачах выпуклого программирования:

1) f(x) = ¡2x21 ¡ 3x22 + x1 ¡ 6 ¡! maxX ,

X= fx j x21 + x1 ¡ 3 · 0; 2x1 + x2 ¡ 5 · 0; x2 ¸ 0g, x1 = (1; 1); x2 = (2; 1); x3 = (1=4; 0); x4 = (0; 0);

2)f(x) = x21 + 3x1 ¡! minX ,

X= fx j x21 + x22 ¡ 2x1 + 8x2 + 16 · 0; x1 ¡ x2 · 5g, x1 = (1; ¡4); x2 = (0; ¡4); x3 = (2; ¡4);

3)f(x) = 7x21 + 2x22 ¡ x1x2 + x1 ¡ x2 ¡! minX ,

X= fx j x1 + x2 · 2; x1 ¡ 3x2 · 4; ¡2x1 + x2 · ¡3g, x1 = (5=2; ¡1=2); x2 = (1; ¡1); x3 = (2; 0);

4)f(x) = x21=2 + x22 ¡ 5x1 + x2 ¡! minX ,

X= fx j x1 + x2 ¡ 2x3 · 3; 2x1 ¡ x2 ¡ 3x3 ¸ ¡11; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0g, x1 = (1; 0; 2); x2 = (0; 0; ¡1); x3 = (1; 3; 0); x4 = (2; 1; 1); x5 = (5; 0; 1);

5)f(x) = ex1+x2 + x21 ¡ 2x2 ¡! minX ,

X= fx j x2 · ln x1; x1 ¸ 1; x2 ¸ 0g,

x1 = (2; ln 2); x2 = (e; 0); x3 = (1; 0);

6) f(x) = ex1+x2 + x23 + 2x1 + 2x2 ¡! minX ,

X = fx j x21 + x22 + x23 · 18; 2x1 + x2 ¡ x3 + 3 · 0g,

x1 = (¡3; 3; 0); x2 = (1; ¡1; 4); x3 = (¡3; ¡3; 0); x4 = (0; 0; 3);

7) f(x) = ¡5x21 ¡ 6x22 ¡ x23 + 8x1x2 + x1 ¡! maxX ,

X = fx j x21 ¡ x2 + x3 · 5; x1 + 5x2 · 8; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0g,

x1 = (0; 0; 0); x2 = (1; 0; 4); x3 = (3=14; 1=7; 0); x4 = (4; 0; ¡11);

8) f(x) = ¡x21 ¡ 2x22 + x1x2 ¡ 26 ¡! maxX ,

X = fx j x21 · 25; x1 + 2x2 ¡ 5 · 0; x2 ¸ 0g,

x1 = (0; 0); x2 = (¡1; 2); x3 = (0; ¡6); x4 = (3; 0);

9) f(x) = 10x21 + 5x22 ¡ x1 + 2x2 ¡ 10 ¡! minX ,

X = fx j 2x21 + x2 · 4; x1 + x2 · 8; x1 ¸ 0g, x1 = (0; 0); x2 = (1; 1); x3 = (0; ¡1);

25

10) f(x) = 4x21 + 3x22 + 4x1x2 ¡ x1 + 6x2 ¡ 5 ¡! minX ,

X = fx j ¡ x21 ¡ x22 ¸ ¡3; 3x21 + x2 · 4; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0g, x1 = (0; 0); x2 = (5; 0); x3 = (1; ¡1); x4 = (1; 1);

11) f(x) = x21 + 5=2x22 ¡ x1x2 ¡! minX ,

X = fx j x21 ¡ 4x1 ¡ x2 · ¡5; ¡x21 + 6x1 ¡ x2 ¸ 7g, x1 = (2; 1); x2 = (3; 2).

4. Линейное программирование

4.1. Различные формы задачи линейного программирования

Здесь ai = (ai1; : : : ; ain) i-я строка матрицы ограничений A; i 2 I è x = (x1; : : : ; xn)>

вектор переменных задачи.

Задача (1) (4) называется задачей линейного программирования, заданной в общей фор-

ìå.Наряду с общей формой используются также каноническая и стандартная формы. Как в канонической, так и в стандартной форме все переменные в любом допустимом решении должны принимать неотрицательные значения, т. е. J1 = J. Такие переменные называются

неотрицательными в отличие от так называемых свободных переменных, на которые подобное ограничение не накладывается. При этом в канонической форме задачи I1 = ;, à â

стандартной I2 = ;.

Используя матричную запись, задачу линейного программирования в канонической форме можно представить следующим образом:

ãäå c = (c1; : : : ; cn) вектор строка, x è b = (b1; : : : ; bm)> вектор столбцы, а A = (aij) матрица размерности m £ n:

Задача линейного программирования в стандартной форме тогда запишется так:

w(x) = cx ! min; Ax ¸ b;

x ¸ 0:

26

Задача ЛП в общей форме сводится к задаче ЛП в канонической или стандартной форме. Под этим понимается существование общего способа построения по исходной задаче, заданной в общей форме, новой задачи ЛП в нужной нам форме, любое оптимальное решение которой преобразуется в оптимальное решение исходной задачи и наоборот. Тем самым, не теряя общности, можно заниматься изучением задачи ЛП, представленной, например, в канонической форме.

Рассмотрим на простых примерах несколько методов, позволяющих сделать такое преобразование задачи. Прежде всего, несколько общих замечаний:

1. Любая задача, в которой требуется найти максимум целевой функции, сводится к задаче на минимум умножением целевой функции на ¡1.

2. Любое ограничение неравенство вида

Xn

aijxj · bi

j=1

умножением на ¡1 приводится к неравенству

Xn a0ijxj ¸ b0i;

j=1

ãäå a0ij = ¡ aij; b0i = ¡ bi:

3. Любое ограничение неравенство вида

Xn

aijxj ¸ bi

j=1

5. Любая свободная переменная xj может быть представлена разностью двух неотрица-

27

Пример 1. Привести к канонической форме (5) (7) задачу

x1 + x2 ! max; 2x1 + x2 ¸ 1; x1 ¡ x2 · 0; x1 ¸ 0:

Решение. Сводим исходную задачу к задаче на минимум, умножив целевую функцию на ¡1. Получим

w(x) = ¡x1 ¡ x2:

Запишем ограничения неравенства в виде равенств, введя новые неотрицательные переменные x3 ¸ 0; x4 ¸ 0 :

2x1 + x2 ¡ x3 = 1; x1 ¡ x2 + x4 = 0:

Заменим свободную переменную x2 разностью двух неотрицательных переменных x5 ¸

0; x6 ¸ 0 :

x2 = x5 ¡ x6:

После этих преобразований исходная задача запишется в канонической форме:

¡x1 ¡ x5 + x6 ! min; 2x1 ¡ x3 + x5 ¡ x6 = 1; x1 + x4 ¡ x5 + x6 = 0; xi ¸ 0 (i = 1; 3; 4; 5; 6):

Пример 2. Привести к стандартной форме записи задачу

w(x) = 2x1 ¡ x2 ! min; x1 ¡ x2 · 1;

2x1 + x2 = 2; x2 ¸ 0:

Решение. Заменим свободную переменную x1 разностью двух неотрицательных пере- менных x3 ¸ 0; x4 ¸ 0 :

x1 = x3 ¡ x4:

Запишем ограничение равенство в виде двух неравенств:

2x1 + x2 · 2;

2x1 + x2 ¸ 2:

После этого исходная задача может быть записана в стандартной форме:

¡x2 + 2x3 ¡ 2x4 ! min;

¡x2 + x3 ¡ x4 · 1; x2 + 2x3 ¡ 2x4 · 2;

¡x2 ¡ 2x3 + 2x4 · ¡2; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0; x4 ¸ 0:

Задачи

1. Привести к канонической форме:

28

1) x1 ¡ x2 + x3 ¡! max,

x1 ¡ x2 = 0; x2 · 1; x3 ¸ 0;

2) x1 + x2 + 3x3 ¡! max,

2x1 + x2 + x3 · 1; x2 + x3 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0;

3) x1 ¡ x2 ¡ x3 ¡ x4 ¡! min,

x1 + x2 ¡ x4 · 1; ¡x1 + x2 + x4 · 1; x2 + x3 = 1; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0;

4) x1 ¡ x2 ¡ 2x3 ¡ 3x4 ¡! min,

x1 ¡ x2 + x3 + x4 = 1; ¡x1 ¡ x4 · 5; x2 + x3 ¸ 10; x1 ¸ 0; x2 ¸ 0; x3 ¸ 0;

5) x1 ¡ x2 ¡ x3 + 10x4 ¡! max,

x1 + x2 + x3 + x4 = 1; x2 + x3 + x4 = 1; x3 + x4 = 1.

2. Задача ЛП в стандартной форме

cx ! min; Ax ¸ b; x ¸ 0

приводится к канонической форме путем введения неотрицательных переменных y = (y1; : : : ; ym)>.

Получается задача

cx ! min; Ax ¡ Ey = b; x ¸ 0; y ¸ 0

(здесь E единичная матрица размера m £ m). Доказать, что если (x; y) решение последней задачи, то x решение исходной задачи.

приводится к канонической форме путем добавления неотрицательных переменных yi(i 2 I1) и замены переменных xj(j 2 J n J1) разностью двух неотрицательных переменных:

xj = x1j ¡ x2j ; j 2 J n J1:

29

xj ¸ 0; j 2 J1; x1j ¸ 0; x2j ¸ 0; j 2 J n J1; yi ¸ 0; i 2 I1:

xj(j 2 J1); x1j ; x2j (j 2 J n J1); yi(i 2 I1) решение последней задачи, то xj(j 2 J1); xj = x1j ¡ x2j (j 2 J n J1) решение исходной задачи.

4.2. Базис и базисное решение

Далее рассматривается только задача ЛП в канонической форме (5) (7). Предположим, что матрица A имеет ранг m (m · n). Тогда в A имеется m линейно независимых столбцов.

Система линейных уравнений (6) совместна и неизбыточна. Пусть Aj = (a1j; : : : ; amj)>; j 2

J.

Определение. Любой набор A¾(1); : : : ; A¾(m) èç m линейно независимых столбцов называется базисом, как и матрица B = [A¾(1); : : : ; A¾(m)], составленная из этих столбцов.

Перестановкой столбцов матрицу A можно привести к виду A = [B; N], ãäå N подматрица, составленная из остальных столбцов матрицы A. Поступив аналогичным образом с векто-

Утверждение 1. Вектор x базисное решение системы (6) тогда и только тогда, когда множество столбцов fAj j xj 6= 0; j 2 Jg матрицы A линейно независимо.

Число базисных решений конечно и не превосходит числа Cnm. Каждому базису соот- ветствует одно базисное решение, но базисному решению может соответствовать несколько базисов.

Определение. Базисным допустимым решением (б. д. р.) называется любой элемент множества X = fx j Ax = b; x ¸ 0g, являющийся базисным решением системы Ax = b.

Ясно, что решение, соответствующее базису B, является б. д. р. тогда и только тогда, когда B¡1b ¸ 0.

Утверждение 2. Вектор x является базисным допустимым решением тогда и только тогда, когда x есть крайняя точка множества X.

Утверждение 3. Åñëè X 6= ;, то существует базисное допустимое решение.

Теорема 1 (критерий разрешимости). Задача (5) (7) разрешима тогда и только тогда, когда X =6 ; и целевая функция w(x) ограничена снизу на множестве X.

Утверждение 4. Если задача ЛП разрешима, то существует оптимальное базисное допустимое решение.

Пример 1. Найти все базисы системы равенств и соответствующие им базисные решения:

x1 + x2 + x3 + x4 = 1;

30